3 círculos iguais dentro de um maior

Uma siderúrgica fabrica um tubo metálico triplo usado para o transporte de três substâncias químicas diferentes. Por causa das propriedades dessas substâncias, esse tubo é envolto em uma capa metálica protetora, como mostra o corte abaixo.



Sabendo que os três tubos internos tem raio de  (raiz de 3) cm, podems afirmar, corretamente, que a área de metal  (sombreada ), na representação, em cm^2, vale:
A) 9π/2 (18 - π)
B) 3π/2 (3√3 -π)
C) π (6√3 - 14,25)
D ) 6π (√3 -  2)
E ) 2π  (2√3 - 1 )

Gabarito : E

Sarah Rebecca escreveu:Uma siderúrgica fabrica um tubo metálico triplo usado para o transporte de três substâncias químicas diferentes. Por causa das propriedades dessas substâncias, esse tubo é envolto em uma capa metálica protetora, como mostra o corte abaixo.



Sabendo que os três tubos internos tem raio de  (raiz de 3) cm, podemos afirmar, corretamente, que a área de metal  (sombreada ), na representação, em cm^2, vale:
A) 9π/2 (18 - π)
B) 3π/2 (3√3 -π)

Boa noite, Sarah.

Clique no link abaixo:

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/10396/geo0303.htm

Ligando-se os centros dos 3 pequenos círculos, forma-se um triângulo equilátero invertido.
Na página do link encontramos que o raio do círculo circunscrito a esse triângulo equilátero é dado por
R = √3/3 L , onde L é a medida do lado do triângulo equilátero, que sabemos medir 2√3 cm.

Assim, temos que o raio do círculo grande (que contém dos 3 pequenos) deve medir:
R' = √3/3 * 2√3  + r = 6/3 + √3
R' = 2 + √3 cm

Assim, a área do círculo grande deve medir:
S(g) = π(R')² = π(2+√3)² = (7 + 4√3)π cm²

Por outro lado, os 3 círculos pequenos têm de área:
S(3p) = 3 * πr² = 3 * π(√3)² = 3 * 3π = 9π

Logo, a medida da área sombreada deverá ser:
S(g) - S(3p) = (7 + 4√3)π – 9π = (4√3 - 2)π cm²




Um abraço.

Muito obrigada, mestres! Entendi muito bem!