Trigonometria no triângulo retângulo.

por cpmark Qua 24 Jun 2015, 16:59

(Fuvest) ABC é um triângulo retângulo em A e o segmento CX é bissetriz do ângulo BCA, onde X é ponto do lado AB. A medida do segmento CX é 4cm e a do segmento BC, 24cm. Calcule a medida de AC.

R: AC = 3 cm

por Kobalt42 Qua 24 Jun 2015, 19:47

Podemos analisar dois triângulos retângulos: AXC e ABC, sendo que o ângulo ABC é duas vezes o de AXC. Nesses triângulos, AC aparece com cateto adjacente dos ângulos em questão. Comparando, temos que

AC/24 = cos(2X)
AC/4 = cosX

Pela lei da soma de cossenos, cos(2X) = cos(X + X) = cos²X - sen²X

Mas se cosX = AC/4, cos²X = AC²/16. E também, por fórmula fundamental, sabemos que

sen²θ + cos²θ = 1 / Logo sen²X = 1 - cos²X = 1 - AC²/16

Substituindo na primeira igualdade [AC/24 = cos(2X)] temos:

AC/24 = AC²/16 - 1 + AC²/16
AC/24 = (2AC² - 16)/16
Desenvolvendo e reorganizando:
6AC² - 2AC - 48 = 0

Por Bhaskara: AC = (2 + 34)/12 = 3

Abraço

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