Volume do sólido
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Volume do sólido
por Carlos Aquino Dom 19 Set 2010, 15:28
A interseção de um sólido com o plano XY é a região R limitada pela elipse 
Calcule o volume do sólido, se cada seção plana perpendicular:
(a) Ao eixo X é um círculo com um diâmetro em R;
(b) Ao eixo Y é um círculo com um diâmetro em R.
(a) Ao eixo X é um círculo com um diâmetro em R;
(b) Ao eixo Y é um círculo com um diâmetro em R.
Carlos Aquino- Jedi
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Re: Volume do sólido
por aryleudo Qui 23 Set 2010, 19:25
Foi uma questão de prova da disciplina de Cálculo Integral I na UFC (Universidade Federal do Ceará).
(a) Ao eixo X é um círculo com um diâmetro em R;
SOLUÇÃO
Utilizando a técnica da integração de volume dos discos circulares:
dx = \int_{-a}^{+a}\pi \times [R(x)]^2dx = \pi\int_{-a}^{+a} \left [\sqrt{\frac{a^2b^2-x^2b^2}{a^2}} \right ]^2dx \\ V = \pi\int_{-a}^{+a}\frac{a^2b^2-x^2b^2}{a^2}dx = \pi\int_{-a}^{+a}b^2dx - \pi\int_{-a}^{+a}\frac{x^2b^2}{a^2}dx \\ V = \pi\times (ab^2 +ab^2 )-\pi\left (\frac{a^3b^2}{3a^2} + \frac{a^3b^2}{3a^2}\right ) = \pi\left [ \frac{6a^3b^2 - 2a^3b^2}{3a^2} \right ] = \frac{4 \pi a^3b^2}{3a^2} \\ V = \frac{4 \pi ab^2}{3} "\\V = \int_{-a}^{+a}A(x)dx = \int_{-a}^{+a}\pi \times [R(x)]^2dx = \pi\int_{-a}^{+a} \left [\sqrt{\frac{a^2b^2-x^2b^2}{a^2}} \right ]^2dx \\ V = \pi\int_{-a}^{+a}\frac{a^2b^2-x^2b^2}{a^2}dx = \pi\int_{-a}^{+a}b^2dx - \pi\int_{-a}^{+a}\frac{x^2b^2}{a^2}dx \\ V = \pi\times (ab^2 +ab^2 )-\pi\left (\frac{a^3b^2}{3a^2} + \frac{a^3b^2}{3a^2}\right ) = \pi\left [ \frac{6a^3b^2 - 2a^3b^2}{3a^2} \right ] = \frac{4 \pi a^3b^2}{3a^2} \\ V = \frac{4 \pi ab^2}{3}")
(b) Ao eixo Y é um círculo com um diâmetro em R.
Idem para o item B.
Os limites de integração agora serão "-b" até "+b".
(a) Ao eixo X é um círculo com um diâmetro em R;
SOLUÇÃO
Utilizando a técnica da integração de volume dos discos circulares:
(b) Ao eixo Y é um círculo com um diâmetro em R.
Idem para o item B.
Os limites de integração agora serão "-b" até "+b".
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"Há três coisas na vida que não voltam: As palavras, o tempo e as oportunidades."
Autor Desconhecido
aryleudo- Grande Mestre
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Re: Volume do sólido
por Carlos Aquino Sex 24 Set 2010, 09:25
Muito obrigado!
Em relação a fonte da questão, o senhor está certo.
Valew!
Em relação a fonte da questão, o senhor está certo.
Valew!
Carlos Aquino- Jedi
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Localização : Ceará
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