Complexos

por victorguerra03 Ter 21 Abr 2015, 14:28

Calcule:

Gb:

Não estou conseguindo obter o valor do gabarito. Grato desde já.

por nandofab Ter 21 Abr 2015, 15:25

Relação bem conhecida que vale a pena decorar: $1 - cis\theta = -2isen\frac{\theta}{2}cis\frac{\theta}{2}$
( se quiser a demonstração, pode pedir)

Como $\frac{\sqrt{3}-i}{2} = cis\frac{11\pi}{6}$ ,

$(1 - cis\frac{\pi}{6})^{24} = (-2isen\frac{11\pi}{12}cis\frac{11\pi}{12})^{24}$

$= 2^{24} i^{24}sen^{24}\frac{11\pi}{12}cis\frac{24.11\pi}{12}$

Utilizando cos(2alfa) = 1 - 2 sen²(alfa), temos:
$sen \frac{11\pi}{12} = \sqrt{\frac{{}1 - cos\frac{11\pi}{6}}{2}} = \sqrt { \frac{2 - \sqrt{3}} {2} }$

Substituindo esse valor no resultado encontrado acima desse, temos:

$2^{24}.1. \frac{(2 - \sqrt{3})^{12}}{2^{24}}. cis2\pi = (2-\sqrt{3}) ^{12}$

por victorguerra03 Ter 21 Abr 2015, 19:14

Pow, q solução maneira cara... Nunca tinha visto essa fórmula ! Quando postei a questão pensei que iriam resolver por Moivre, até pq essa questão faz parte desse conteúdo. Se puder demonstrá-la, fique a vontade.

Obs: Como é algo novo, demorei um pouco pra entender essa resolução, porém tenho uma dúvida: Lá em cima não seria Complexos 29vdowj

?

Abç !

por nandofab Ter 21 Abr 2015, 23:23

Isso mesmo, foi erro de digitação. Vlw! Como vc fez por Moivre? Achou algum complexo maneiro? Demonstração:
$1 - cis\theta = 1 - cos\theta -isen\theta$

$= 2sen^2\frac{\theta}{2} - isen\frac{\theta}{2}cos\frac{\theta}{2}$

Na linha de cima, usou-se que 1 -cos(theta) = 2sen²(theta/2) [ arco dobro]
Utilizou-se também sen(theta) = 2sen(theta)cos(theta)

$= 2sen\frac{\theta}{2}[sen\frac{\theta}{2} - icos\frac{\theta}{2}]$

Precisamos transformar a expressão entre colchetes em um produto...

Como i x -i = 1, temos:

$= 2 sen\frac{\theta}{2}.[sen\frac{\theta}{2} - icos\frac{\theta}{2}] i.-i$

$= -2isen\frac{\theta}{2}.i[sen\frac{\theta}{2} - icos\frac{\theta}{2}] = -2isen\frac{\theta}{2}[cos\frac{\theta}{2} + isen\frac{\theta}{2} ] = -2isen\frac{\theta}{2}cis\frac{\theta}{2}$

Aprendi essa demonstração no livro do caio Guimarães, de complexos e polinômios.

Além dessa fórmula, é bizzu saber essa também:

1 + cis(theta) = 2cos(theta/2)cis(theta/2 ) ( tente provar! É tranquila!)

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