Determine a

Determine a₄, sabendo que 695 = a₁ + a₂.2! + a₃.3! + a₄.4! + ... onde a_k (k= 1,2,3,4,...) é um inteiro tal que 0 ≤ a ≤ k e n! = 1 x 2 x ... xn (x= 1,2,3,4,...)

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Gabarito: Letra D

Se estamos lidando apenas com inteiros, então o limite de k deve ser 5.
Isto é, se temos:
a1=0; a2=0; a3=0; a4=0, a5=0 e a6=1 então 6!=720
Já ultrapassa o valor pedido.
Logo, k=5
então os valores de a ficam entre 0 e 5.

Podemos perceber que, se a1, a2, a3, a4 assumem valores máximos, o valor da soma fica 165, abaixo de 695. Deste modo, então a5 ≤5 ---> a5=5
Podemos dizer agora:


Se a5 = 5 temos:

Do mesmo modo, 3 ≤ a4  --> a4=3
Assim, temos:

2≤ a3 ≤ 3
----> Se a3 = 2 ---> (a1=1 e a2=5) ou (a1=3 e a2=4) ou (a1=5 e a2=3)
----> Se a3 = 3 ---> (a1=5 e a2=0) ou (a1=3 e a2=1) ou (a1=1 e a2=2)


Soluções:

Muito obrigado carlos adir!