Queda de esfera em elevador

Não encontrei nenhum tópico relacionado à questão, então:

Num elevador que se move com aceleração a, de uma altura H sobre o chão, um homem deixa cair uma esfera. t segundos depois da queda, a aceleração do elevador muda de sinal e decorridos 2t segundos, torna-se igual a zero. Logo após, a esfera toca o chão. A que altura do chão do elevador a esfera elevar-se-á depois do choque? Considerar o choque absolutamente elástico.

Resolução que tenho:

Spoiler:

Contudo, não estou conseguindo interpretar a resposta. Sempre encontro outra que, ao meu ver poderia ser aceita.

Minha resolucao:
O elevador possui uma velocidade v, nao importando o sentido, acelera no mesmo sentido da velocidade durante t segundos, e apos isto, tem sua aceleracao no sentido contrario durante 2t segundos, e faz-o parar. Deste modo, v=at
O espaco percorrido durante o primeiro t segundos sera h₁=vt + at²/2 = (3/2)at².
Apos isto, tem-se velocidade de 2v = 2at. Deste modo, o espaco percorrido h₂ durante o restante dos outros 2t segundos sera h₂=(2v)(2t)+(a(2t)²)/2 = 2at². Ou seja, durante o tempo de 3t segundos, o "chao" do elevador moveu-se o equivalente a h=h₁+h₂=(3/2)at² + 2at² = (7/2)at²
Portanto, se o elevador moveu-se para baixo, entao a altura total percorrida pela esfera seria H+(7/2)at² e entao ela retornaria na mesma altura(se nao houvesse teto), e caso a aceleracao inicial fosse para cima, a altura percorrida pela esfera seria H-(7/2)at². O que difere bastante da resposta.
Outra maneira que fiz foi por energia.
1) Aceleracao inicial para cima:
Energia cinetica da esfera: mv²/2 = ma²t²/2
Energia potencial da esfera: mgH
Logo, a energia cinetica e potencial sera convertida em energia potencial apenas.
(ma²t²/2)+(mgH)=mgh --> gh+g(7/2)at²=a²t²/2 + gH --> h=(a²t²/2g)+H-(7/2)at²
2) Aceleracao inicial para baixo:
Mesma coisa, mas obtemos h=(a²t²/2g)+H-(7/2)at²
Onde h é a altura atingida pela esfera para observador junto da esfera.

Ambos os modos, não bateram o resultado.
Onde estaria o erro?

Mestre Euclides, o que não consigo entender é a velocidade e o tempo.
Se tem aceleração por t segundos, após isto inverte o sinal da aceleração, e leva 2t segundos para parar. Ou seja:
(v+at)-(2at)=0 --> v=at
Ou seja, pra mim teria velocidade inicial.
Outra coisa seria que a resolução "oficial" não considerou 2t segundos, mas sim como se o movimento retardado fosse apenas durante t segundos.
Bateria corretamente o gabarito caso fosse t acelerado, e t retardado.

 t segundos depois da queda, a aceleração do elevador muda de sinal e decorridos 2t segundos, torna-se igual a zero

1- em t segundos inverte a aceleração e com mais t segundos (total 2t) ela zera.

2- podemos admitir que a velocidade inicial não fosse zero, mas isso vai introduzir na resposta uma parcela vt, desconhecida. Admitir que tudo se inicia em t=0 é apenas prático.