Calcular a soma dos infinitos elementos

por Mathematicien Dom 28 Set 2014, 20:34

Olá!

Como se calcular a soma dos infinitos elementos da disposição de números abaixo?

(1/2)

(1/4) (1/4) (1/4)

(1/8)(1/8)(1/8)(1/8)(1/8)

(1/16)(1/16)(1/16)(1/16)(1/16)(1/16)(1/16)

...

Tentei fazer assim:

1 x (1/2) + 3 x (1/4) + 5 x (1/8) + ...., mas não consegui botar na fórmula de soma de PG infinita...

O resultado é 3

por **Elcioschin** Dom 28 Set 2014, 22:32

1ª PG à esquerda (inclinada): 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 ..... PG decrescente infinita com a1 = 1/2 e q = 1/2 --->

S1 = a1/(1 - q) ---> S1 = (1/2)(1 - 1/2) ---> S1 = 1

2ª PG ao dado da 1ª: 1/4, 1/8, 1/16 ... ---> idem com a1 = 1/4 e q = 1/2 ---> S2 = (1/4)/(1 - 1/2) ---> S2 = 1/2

3ª PG ao lado da 2ª: 1/8, 1/16, .... idem com a1 = 1/8, q = 1/2 ---> S3 = (1/8 )/(1 - 1/2) = 1/4

4ª PG ao lado da 3ª: 1/8, 1/16 ..... idem ---> S4 = 1/4

E assim por diante

Cada soma corresponde a uma nova PG ---> S1 = 1, S2 = 1/2, S3 = 1/4 ....

Tente completar

por Mathematicien Seg 29 Set 2014, 08:10

Vendo tua resposta, professor, consegui resolver, mas de um modo um pouco diferente (em vez de pegar a PG à esquerda, inclinada, pegar as colunas).

Muito obrigado pela explicação, professor; foi uma aula!

por **Elcioschin** Seg 29 Set 2014, 09:29

Muito bom, meu caro: isto mostra que você está raciocinando por conta própria. Parabéns!!!

Você poderia então postar a sua solução, para que outros usuários aprendam.

por Mathematicien Ter 30 Set 2014, 09:16

A soma dos infinitos elementos da coluna principal é 1;
da coluna à esquerda, 1/2;
da coluna mais à esquerda, 1/4;
e assim por diante.

Assim, a soma dos infinitos elementos do lado esquerdo, que é a soma das colunas, contando com o meio, é 2.

Se queremos saber a soma do lado esquerdo mais o lado direito, é só multiplicar por dois, porque o lado esquerdo e o direito são a mesma coisa. O resultado dá 4.

Porém, ao multiplicar por dois, contamos duas vezes o meio. É só tirar uma vez a soma dos infinitos elementos do meio, que é 1, e obter o resultado, que é 3.