Produto Interno

Seja l a reta de equação 2x + y = 2 e A = (1,0) um ponto na reta l. Encontre os pontos P na reta r
de equação r : {x = 1 + t 
                     {y = 3 − t , com t ∈ R, de modo que a reta AP forme um ângulo θ com a reta l, onde cos(θ)=3 5.
Obs: resolver através do produto interno.

- reta (l):

2x + y - 2 = 0

2x - 2 = - y

2*( x - 1 ) = - y

( x - 1 ) = - y/2

x - 1 = t -> x = t + 1

- y/2 = t -> y = - 2t


reta que passa pelo ponto  A( 1, 0 ) e tem  vetor diretor -> u = ( 1, - 2 )


- reta (r) :

x = 1 + t -> t = x - 1 

y = 3 - t -> t = 3 - y

x - 1 = 3 - y -> x + y - 4 = 0


- seja P( x, y ) pertencente a (r):


- vetor AP -> AP = ( P - A ) = ( x - 1 , y - 0 ) = ( x - 1, y )

como P pertence a (r),   AP = ( x - 1 , 4 - x )

e o vetor  diretor ( x = 1 - 1 , 5 - x - 0 )


...........................( 1, - 2 ).(x - 2, 5 - x )
cos (teta) = 3/5 = ----------------------------- 
.............................\/5 * \/[(x-2)² + (5-x)²]


............3x - 12
3/5 = ---------------------------
..........\/(10x² - 70x + 145)


10x² - 70x + 145 = 25x² - 200x + 400

3x² - 26x + 51 = 0

raízes: x = 3 ou x = 17/3


para x = 3 -> y = 1 -> P( 3, 1 )

para x = 17/3 -> y = - 5/3  -> P' ( 17/3 , - 5/3 )