Números complexos, questão ITA

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Mensagem por kaiquelucas em Sab 28 Jun 2014, 18:18

27. (ITA) Sendo Z ∈ , resolva a equação 2^2=conjugado(2+Z).

Até onde consegui chegar:

a² + 2abi + bi² = 2 + (a-bi)

a² - b² = 2 + a (I)
(-1/2)² - b² = 2 - 1/2
b² = (-5/2) + (1/2)
b² = -18/8
b =  √-9/4

2abi = -bi (II)
2abi+bi = 0
bi(2a+1) = 0

bi = 0 ou 

2a + 1 = 0
a = -1/2
Amigos, não sei como chegar no resultado, devo ter errado alguma propriedade matemática, já fiz e refiz várias vezes  Question .

GABARITO ->  S = {-1,2)

Att

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Mensagem por Elcioschin em Sab 28 Jun 2014, 19:51

1) Sua solução não condiz com o enunciado:

Você considerou z² = (2 + z)' e o enunciado diz 2² = (2 + z)'

2) Sua solução tem um erro na 1ª linha: (a + bi)² = a² + 2abi + b².i²

3) Sua solução não serve, pois, a, b devem ser reais

4) Você esqueceu de analisar a solução bi = 0 ---> b = 0

5) Não entendi o que o gabarito significa. Acho que o objetivo é calcular z, mas não é isto que o gabarito mostra.
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Mensagem por kaiquelucas em Dom 29 Jun 2014, 23:26

Olá, Elcioschin.

1) Desculpe-me é z²= conjugado(2+z)

2) Certo mas depois eu transformei em -b² pois i² = -1

Não consegui resolver com a terceira e a quarta dica :/

5) Também não entendi muito bem o gabarito, mas suspeito que esteja errado, o livro que estou usando não é muito confiável, tem muitos erros de gabarito. Inclusive para outras matérias.


Att 
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Mensagem por Matheus Bertolino em Seg 30 Jun 2014, 00:05

z² = (z + 2)'
(a+bi)² = (a + 2 - bi)
a² - b² + 2abi = a + 2 - bi

Logo, temos que:
a² - b² = a + 2
2ab = - b ------> a = - 1/2 ou b = 0

Se a = -1/2, temos:
(-1/2)² - b² = -1/2 + 2
1/4 - b² = 3/4 --------> b² = - 1/2 (impossível, pois b é real)

Logo, b = 0. Assim, temos a² = a + 2 ----> a = 2 ou a = - 1.
z = a + bi
Desse modo, S = {-1; 2}

Questão de 1993 =)
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Mensagem por Elcioschin em Seg 30 Jun 2014, 09:24

Matheus

Correto: a solução é esta mesma
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Mensagem por kaiquelucas em Qua 02 Jul 2014, 07:40

Muito obrigado a todos que se disponibilizaram a ajudar, foram de excelente ajuda!

Att

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Mensagem por kaiquelucas em Qui 03 Jul 2014, 22:22

Acho que está errada essa conta: 
Se a = -1/2, temos: 
(-1/2)² - b² = -1/2 + 2 
1/4 - b² = 3/4 --------> b² = - 1/2 (impossível, pois b é real)



-1/2 + 2 = 3/2 e não 3/4


Então fica:


(-1/2)² - b² = -1/2 + 2 
1/4 - b² = 3/2 --------> b² = - 5/4  (e ainda assim é impossível, pois b é real)



Att


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