Equações trigonométricas

ITA-SP A soma das raízes da equação √3 tgx - √3sen2x + co2x=0 que pertencem ao intervalo [0,2pi]

resposta 16∏ /3

Ajudem   !!!

√3tgx -√3sen2x + cos2x = 0
√3sen2x -cos2x = √3tgx
(√3/2)sen2x - (1/2)cos2x = (√3/2)tgx
sen2xcos(pi/6) -sen(pi/6)cos2x = (√3/2)tgx
sen(2x- pi/6) = cos(pi/6)(senx/cosx)
sen(2x- pi/6)cosx = senxcos(pi/6)

senacosb = (1/2)[sen(a+b) +sen(a-b)]

sen(3x- pi/6) + sen(x- pi/6) = sen(x+ pi/6) + sen(x - pi/6)
sen(3x - pi/6) = sen(x + pi/6)
3x - pi/6 = x + pi/6 + 2kpi ou 3x -pi/6 = [pi - (x +pi/6)] + 2kpi , k ∈ Z
2x = pi/3 + 2kpi ou 4x = pi + 2kpi
x = pi/6 + kpi ou x = pi/4 + kpi/2
de 0 a 2pi temos: pi/6 , 7pi/6 ,pi/4 , 3pi/4 , 5pi/4 , 7pi/4
S = 16pi/3

Ola pessoal
Já olhei essa resolução varias vezes e ainda não consegui entender essa parte :

3x -pi/6 = [pi - (x +pi/6)] + 2kpi , k ∈ Z
2x = pi/3 + 2kpi ou 4x = pi + 2kpi
x = pi/6 + kpi ou x = pi/4 + kpi/2
de 0 a 2pi temos: pi/6 , 7pi/6 ,pi/4 , 3pi/4 , 5pi/4 , 7pi/4

Por gentileza poderiam me explicar??
Obrigado