Equilíbrio de Corpos

por Convidado Sáb 25 Jan 2014, 14:17

Colocam-se 5 (cinco) livros empilhados com as mesmas características em um determinado apoio. Cada um dos livros possui comprimento L=20 cm. Determine os valores máximos de a, b, c e d para que o conjunto correspondente aos livros fique em equilíbrio.
Equilíbrio de Corpos 4ej2

Comentário 1: Não possuo a resposta (gabarito).
Comentário 2: Eu suponho o campo gravitacional constante de forma que o centro de massa (CM) e o centro de gravidade (CG), baricentro ou centroide coincidam.

por **Euclides** Sáb 25 Jan 2014, 17:21

A melhor saída será fazer todos os deslocamentos iguais (a=b=c=d), ou não saberíamos distinguir entre as várias soluções diofantinas qual representará os valores máximos.

Equilíbrio de Corpos 3syy

por Convidado Dom 26 Jan 2014, 17:27

Na verdade, Euclides, o que eu quero é uma boa generalização ( Very Happy

) para o problema abaixo contido na página 409 do livro "Os Fundamentos da Física" (mais detalhadamente: Os Fundamentos da Física - Mecânica - Volume 1 - Ramalho, Nicolau e Toledo - 9ª (nona) edição).

Uma boa solução para esse problema é a seguinte:

Analisemos inicialmente os livros superiores. O maior valor que a medida x pode assumir equivale ao livro que está mais em cima na iminência de "cair" ou tombar. Para essa situação em específico, devemos ter x=L/2, isso implica que x é igual a 10 cm (x=10 cm).

O conjunto formado pelos dois livros mais afastados do apoio possui centro de gravidade pertencente à reta imaginária que passa por B:

O primeiro livro (de cima para baixo) possui como centro de gravidade o ponto representado por A na figura.

Quando estiver na iminência de "cair" ou tombar, tem-se:

Então, y=L/4, condição que implica y valendo 5 cm.

Visitei esses "sites" (listados abaixo), caso ajude em algo estão aqui:

1) https://www.google.com.br/search?q=tr%C3%AAs+livros+id%C3%AAnticos+sobre+uma+mesa%2C+conforme+mostra+a+figura&oq=tr%C3%AAs+livros+id%C3%AAnticos+sobre+uma+mesa%2C+conforme+mostra+a+figura&aqs=chrome..69i57j69i59l2.753j0j7&sourceid=chrome&espv=210&es_sm=93&ie=UTF-8

2) http://osfundamentosdafisica.blogspot.com.br/2010/09/resolucao-de-empilhando-livros.html

3) https://pir2.forumeiros.com/t5766-equilibrio-de-corpo-extenso

Ou,
1) http://goo.gl/PKCO0w
2) http://goo.gl/h8pYMz
3) http://goo.gl/TlyBfK

por **Euclides** Dom 26 Jan 2014, 18:27

Tá, eu acho que é isto:

Equilíbrio de Corpos Fvor

por Convidado Dom 26 Jan 2014, 19:32

Também percebi o mesmo padrão. Mas ainda assim, queria saber se outra pessoa iria chegar a mesma conclusão. Notei também que se o número de livros empilhados tende ao infinito (para que fique mais claro: um número muito grande de livros na realidade) aplicando o raciocínio na fórmula para a soma dos termos de uma progressão geométrica (PG) convergente, o máximo que é possível deslocar o livro mais alto em relação ao que está apoiado na mesa, por exemplo, em termos horizontais (como nas figuras já colocadas anteriormente), é o próprio L, ou seja, o comprimento do próprio livro. Espero que a ideia tenha sido repassada.

$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{L/2}{1-1/2}=\frac{1/2}{1/2}\cdot L=L \ uc \ (unidades \ de \ comprimento)$

$a_1$ : primeiro termo da PG
q: razão da PG
S: soma dos infinitos termos da PG convergente

por **Euclides** Dom 26 Jan 2014, 21:26

A postagem anterior (a minha) está errada. Fiz uma verificação mais séria e encontrei valores que verificam a equação para o centro de massa do conjunto.

Retomando a sua figura original:

Equilíbrio de Corpos Za1b

$\\L-a=\frac{\frac{L}{2}+\frac{L}{2}+b+\frac{L}{2}+b+c+\frac{L}{2}+b+c+d}{4}\\\\4L-4a=2L+3b+2c+d\\2L=4a+3b+2c+d\;\;\;(I)$

sendo:

$a=\frac{L}{2(n-1)}\;\;\;\;b=\frac{L}{2(n-2)}\;\;\;\;c=\frac{L}{2(n-3)}\;\;\;d=\frac{L}{2(n-4)}\;....\;\frac{L}{2}$

os valores

$a=\frac{L}{8}\;\;\;\;b=\frac{L}{6}\;\;\;\;c=\frac{L}{4}\;\;\;d=\frac{L}{2}$

satisfazem a equação (I)

por Convidado Dom 26 Jan 2014, 23:03

Poderia deixar mais claro essa parte?
$\\L-a=\frac{\frac{L}{2}+\frac{L}{2}+b+\frac{L}{2}+b+c+\frac{L}{2}+b+c+d}{4}$

por **Euclides** Dom 26 Jan 2014, 23:14

É a fórmula ponderada da posição do centro de massa do conjunto apoiado. São as coordenadas dos centros de massa de cada um dos 4 livros apoiados, ponderadas pelas suas massas, que como são iguais foram eliminadas.

Uma versão mais explicada

$\\\underbrace{\underset{CM}{m(L-a)}}=\frac{\frac{mL}{2}+m\left (\underbrace{\underset{segundo}{\frac{L}{2}+b}} \right )+m\left (\underbrace{\underset{terceiro}{\frac{L}{2}+b+c}} \right )+m\left( \underbrace{\underset{quarto}{\frac{L}{2}+b+c+d}} \right )}{4m }$

por Convidado Seg 27 Jan 2014, 14:45

Muito legal, valeu Euclides. Vou utilizar de algumas informações já citadas, para outros que podem ler. É possível chegar nessa lista:
$\frac{1}{2},\frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8}, \frac{1}{10}, \frac{1}{12},...,\frac{1}{2n}$
Uma espécie de "função geratriz" para ela é a seguinte:
$f(x)=\frac{1}{2x}$
Sendo x natural não nulo.
Somando-se cada vez mais termos, percebe-se que eles "tendem" a não convergir para um determinado valor ou número. Espero que a ideia tenha sido transmitida. Obrigado novamente.
Equilíbrio de Corpos W26a