Álgebra e Fatoração

por PedroCunha Qui Dez 05 2013, 20:47

Trago a seguinte questão:

Quais os inteiros positivos a e b tais que

$(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}-1)^2=49+20\sqrt[3]{6}$

¹Não possuo gabarito.

Agradeço desde já a atenção.

Att.,
Pedro

por Papiro Insano Qui Jan 16 2014, 10:57

vamos chamar de radical de x^(1/3) o menor inteiro y tal que (x/y)^(1/3) é inteiro. Inicialmente provaremos que a e b não podem ter o mesmo radical: Se tivessem, o termo da esquerda expandido teria a forma C² (D²)^(1/3) -2C D^(1/3) + 1, onde D é o radical. Agora note que o radical de D² é sempre diferente do radical de D (que é D), já que se o radical de D² fosse D, D²/D = D seria cubo perfeito, absurdo pois D é radical. Logo teríamos a soma de duas raízes cúbicas de radicais deferentes dando um inteiro mais outra raíz cúbica, absurdo já que os números são inteiros. Logo a e b não tem o mesmo radical. Vamos expandir o termo da esquerda: a²^(1/3) + b²^(1/3) + 1 - 2a^(1/3) -2b^(1/3) + 2(ab)^(1/3), temos que juntar as raízes cúbicas em uma só (condição de inteiro), mas o radical de a² é diferente do radical de a e o radical de b² é diferente do radical de b (foi provado acima, obviamente considerando a e b não cubos perfeitos, já que se algum o fosse teríamos novamente duas raízes cúbicas dando inteiro mais raiz cúbica). Desse modo ou a² deve cancelar com b ou b² deve cancelar com a, como o problema é simétrico consideremos o primeiro caso. Desse modo a² = 8b. Isolando b e substituindo chegamos em a + (a/4-2) a^(1/3) = 48 + 20(6)^(1/3). Igualando parte inteira om parte inteira e raiz com raiz chegamos em a=48 e b = 288 (obviamente a permutação também é solução)

Álgebra e Fatoração

Álgebra e Fatoração

Re: Álgebra e Fatoração

Um fórum livre e democrático.