Equação Trigonométrica

por lucianaaguiiar Qua 27 Nov 2013, 23:01

Resolva a equação trigonométrica sen x + cos x -1=0, no intervalo fechado [0,2pi]

por PedroCunha Qua 27 Nov 2013, 23:15

Veja:

senx + cosx - 1 = 0
senx + cosx = 1 --> Elevando tudo ao quadrado
(senx + cosx)² = 1²
sen²x + 2senxcosx + cos²x = 1
(sen²x + cos²x) + 2senxcosx = 1
1 + 2senxcosx = 1
1 + sen(2x) = 1
sen(2x) = 0

Possibilidades:

sen(2x) = sen pi
2x = pi
x = pi/2

Sen(2x) = sen 2pi
x = 2pi/2
x = pi

Att.,
Pedro

por Luck Qui 28 Nov 2013, 00:29

Pedro, elevar ao quadrado equações trigonométricas pode introduzir raízes estranhas, quando faz isso é necessário fazer a verificação no final, o que poderia complicar se o intervalo não fosse limitado a [0,2pi] ,por isso não é um bom caminho... no caso vc chegou em sen(2x) = 0, então temos : 2x = kpi∴ x =kpi/2, k ∈ Z
x= {0,pi/2,pi,3pi/2,2pi}
verificando,dessas apenas 0,pi/2 e 2pi satisfazem, logo x ={0,pi/2 , 2pi}

Outra modo:
senx + cosx = 1
2sen(x/2)cos(x/2) +1 - 2sen²(x/2) = 1
2sen(x/2)cos(x/2) = 2sen²(x/2)
sen(x/2) = 0 ∴ (x/2) = kpi ∴ x = 2kpi
ou sen(x/2)# 0:
cos(x/2) = sen(x/2)
tg(x/2) = 1 ∴ x/2 = pi/4 + kpi ∴ x = pi/2 + 2kpi
no intervalo [0,2pi]:
x ={0,pi/2 , 2pi}

por felipenewton01 Qui 28 Nov 2013, 10:55

uma boa tambem nessa questao é observar o seguinte:

sen(x) + cos(x) = 1 .(2^1/2)/2

(2^1/2)/2. sen(x) + (2^1/2)/2. cos(x) = (2^1/2)/2

sen(pi/4 +x ) = (2^1/2)/2

sen(pi/4 +x ) = sen (pi/4)

pi/4 +x = pi/4 + 2kpi e pi/4 +x = 3pi/4 + 2kpi , x = pi/2 + 2kpi .

x = 2kpi , k inteiro e pertencente a (ℤ) k = 1 , para esta no intervalo pedido. Então x= 2 pi ,
e x= pi/2 , nesse caso para k = 0.

Assim tem-se S ={ pi/2 , 2pi }.

por PedroCunha Qui 28 Nov 2013, 12:40

Luck, não entendi de onde vieram todas aquelas raízes.

Ao meu ver, para sen(2x) = 0, as possibilidades são apenas 0, pi/2, pi

Att.,
Pedro

por Luck Qui 28 Nov 2013, 20:28

PedroCunha escreveu:Luck, não entendi de onde vieram todas aquelas raízes.

Ao meu ver, para sen(2x) = 0, as possibilidades são apenas 0, pi/2, pi

Att.,
Pedro

sena= 0, vc tem a = kpi, jogando os primeiros valores de k: a = 0, a =pi, a=2pi , a=3pi, a= 4pi , a=5pi,a = 6pi... certo?
no caso a = 2x, então:
2x = 0 ∴x = 0
2x = pi ∴ x = pi/2
2x =2pi ∴ x = pi
2x =3pi ∴x =3pi/2
2x= 4pi ∴x =2pi ,a partir daí ja ultrapassa os valores da primeira volta.
Então resolvendo dessa forma vc obtém x ={0,pi/2 ,3pi/2,2pi}

felipenewton , bem lembrado. Essa é outra idéia boa,muito útil para transformar equações trigonométricas da forma asenx+ bcosx = k em função apenas do seno ou cosseno..