Questão de concurso Logaritmo

por LuizSampaio Qua 28 Ago 2013, 16:23

Considere a sequência de a_n = log_b1(raiz 5) + log_b2(raiz 5) + ... +log_bn(raiz 5) , onde b₁=a (a>1) e b_k+1=(b_k)2 , k = 1, ... , n-1.
Determine o valor de a para o qual a₁₀=1-(1/2)¹⁰

por Luck Qui 29 Ago 2013, 00:53

an = log[a]√5 + log[a²]√5 + log[a^4]√5 + log[a^8]√5 + log[a^16] √5 + ...
a10 = log[a]√5 + (1/2)log[a]√5 + (1/4)log[a]√5 + ... + (1/512)log[a]√5
1 - (1/2)^10 = log[a]√5 (1 + (1/2) + (1/2²) + (1/2³) + ... + (1/2^9) )
1 - (1/2)^10 = log[a]√5 ( 1 -(1/2)^10 ) /(1 - (1/2))
1= (log[a]√5 )/(1/2)
log[a]√5 = 1/2
a^(1/2) = √5
a = 5