Função Sobrejetora

Eu gostaria de saber como determinar a sobrejetoriedade de uma função algebricamente.

Por exemplo,

f(x) = x² + 4x + 3 to x>0

Eu posso determinar a imagem desta função( que é [-1; +∞[ ). Mas como posso garantir que esta imagem é igual ao contradomínio ? Pode parecer meio óbvio pra essa função com esta seguinte circunstância, mas para funções mais elaboradas como eu descobriria que seu contradomínio é igual a própria imagem ?

Porque, por exemplo, pra provar a injectividade da função é fácil. Pra x1 diferente de x2, teríamos f(x1) diferente de f(x2)....

Gostaria de saber também, alguém poderia responder?