Quadrados e círcunferência

por **Elcioschin** Ter 13 Ago 2013, 12:17

Relembrando a primeira mensagem :

Vamos testar a perspicácia dos usuários do fórum:

Você dispõe de dois cartões de papelão iguais, de forma quadrada, de lado L
Num deles está desenhada uma circunferência de raio r, tal que 2r < L
Você dispõe de um lápis ou caneta.

Como encontrar o centro O da circunferência, dispondo apenas desta "ferramentas"?

por **Euclides** Ter 13 Ago 2013, 17:17

Achei isso ótimo, Élcio! É possível obter uma bem razoável precisão.

Quadrados e círcunferência - Página 2 A_nbcgr

por **Elcioschin** Ter 13 Ago 2013, 19:27

kakaroto

As duas soluções do Denis estão corretas.
Na solução das tangentes de um ponto externo, o que ficou errado foi o seu desenho: o ponto D está muito para a direita. Se o ponto D estivesse correto a reta s passaria pelo centro A.

A melhor solução, no meu entender é do Euclides (mesma do Denis): todo triângulo retângulo com vértice na circunferência tem a hipotenusa como diâmetro!!!

Espero que tenham gostado deste "desafio"

por kakaroto Ter 13 Ago 2013, 19:36

Elcio, o denis só diz para ->

" Desenhe duas linhas, com o apoio do segundo quadrado, que sejam concorrentes em um ponto fora da circunferência e que cada uma delas tangencie essa circunferência. "

O desenho que fiz segue esse passo. Concordo com vc, o método do Euclides está mais simples e rápido

por **Elcioschin** Ter 13 Ago 2013, 20:03

kakaroto

Você não entendeu o que eu tentei explicar

1) No seu desenho você traçou as duas retas tangentes a partir do ponto externo C

2) Você marcou corretamente o ponto B de tangência

3) Você marcou erradamente o ponto D de tangência: o local correto é um pouco mais para a esquerda.

4) Mudando D de lugar, trace novamente a corda BD

5) Traçando por C uma perpendicular à corda BD (passa pelo centro da corda), esta reta obrigatoriamente passa pelo centro A da circunferênc.ia

por **Euclides** Ter 13 Ago 2013, 20:50

Mais uma solução simples e rápida:

por **denisrocha** Qua 14 Ago 2013, 13:56

É, vi pelo Geogebra que o primeiro modo q eu disse não tá errado não...

por kakaroto Qua 14 Ago 2013, 20:44

Elcioschin, desculpe ainda não entendo. Os passos do denis me permite colocar o ponto de tangência D onde eu quiser, desde que concorra em algum momento com a outra reta que tem ponto de tangência em B e assim, obrigatoriamente a reta s que é perpendicular a reta r(corda BD) passaria pelo centro. Não consigo enxergar nos passos do denis essa objeção que vc faz de colocar o ponto D mais para a esquerda(penso que abaixo do ponto B), já que nos passos do denis essa dica não está clara(pleo menos para mim!).

por **denisrocha** Qua 14 Ago 2013, 20:55

Vai no Geogebra e segue os passos:

Crie uma circunferência com centro e raio quaisquer
Coloque um ponto em qualquer lugar fora da circunferência
Use a "Reta tangente" ligando o ponto na circunferência
Crie os dois pontos de tangencia com a "Intersecção de dois objetos" clicando em uma reta e depois na circunferencia
Use a "Reta definida por dois pontos" e junte os pontos de tangência
Use a "Reta perpendicular", clicando primeiro no ponto onde concorrem as tangentes e depois na reta que liga os pontos tangentes

Até ai dá pra ver q a reta passa pelo centro, então repetindo os passos vai chegar no resultado procurado ;p

por kakaroto Qua 14 Ago 2013, 21:42

denisrocha, seguindo seu 2º passo a passo, cheguei aqui ->
Quadrados e círcunferência - Página 2 Ki3k

Excelente! O curioso é que a reta BA é bissetriz do ângulo B e perpendicular a corda DC. No seu 1º passo a passo ainda não vejo essa condição para a reta BA, apenas há ressalva da sua perpendicularidade a corda formada pelos pontos de tangencia!

por **denisrocha** Qua 14 Ago 2013, 23:06

Mas não tem necessidade em dizer que ela é bissetriz, pois isso é uma consequência do que eu disse na primeira mensagem.

Usando sua imagem:
[; \mathbf{\delta_{BC}^{2} = \delta_{BA}^{2} - R^{2}} ;]
[; \mathbf{\delta_{BD}^{2} = \delta_{BA}^{2} - R^{2}} ;]
[; \mathbf{\delta_{BC} = \delta_{BD}} ;]

Da congruência dos triângulos, [; \mathbf{D\widehat BA = C\widehat BA} ;].