Teorem do Valor Médio

Determine se a hipótese do Teorema do valor médio é válida.


              2x + 3   se          
  f(x) =                                    [a,b] = [1,5]
              5x - 6    se x > 3

 
De acordo com o Teorema do valor médio, seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e derivável no intervalo aberto (a,b). Então, existe pelo menos um número c ∈ (a,b) tal que


                                    

O gabarito dessa questão é não satisfaz o teorema do valor médio. No entanto, eu fiz a questão analisando os limites laterais, e esses limites deram iguais e me levaram ao erro de que essa função seria válida com o Teorema.
Gostaria de uma ajuda, por favor. Obrigada!

Você verificou se a função é derivável no intervalo ]a,b[?

contínua e derivável!

Giovanna,

Veja se eu estou no caminho certo. Tentei encontrar c ∈ (1,5) tal que

   ou seja,  = 7/2

No entanto, como fazer a derivada de f(x) já que existem duas equações para ela?

Para x ≤ 3, f'(x) = 2 e para x<3 , f'(x) = 5. Isso está correto?

Acredito que não imediatamente. Você vai ter que verificar, pela definição de derivada, se existe f'(3). Par isso, você deve considerar x->3+ e x->3- (o limite lateral da definição de derivada, ok?)

Não vou colocar a resposta agora para que você tente fazer, mas se não der eu resolvo aqui.

Não se esqueça que é importante enfatizar que a equação é derivável també, nos demais subintervalos desse intervalo.

Acho que é isso, se não der avise

Não querendo adiantar nada mas o que nós temos graficamente é:

 

Vemos que a tangente de cada reta de f(x) de azul e lilás no gráfico é a própria reta e ambas as retas não serão paralelas à secante de bege no gráfico. O que o teorema do valor intermediário diz é que existe algum ponto c onde a tangente à função e a secante são paralelas, ou seja...

Giovanna,

Refiz o exercício como vc sugeriu, e o que eu encontrei foi o seguinte:

f(x) é contínua em todo o intervalo [1,5]. Quanto à derivabilidade de f(x), vou colocar a minha resolução aqui:

-> se a < 3



é diferenciável em todo a < 3.

-> se a>3


é diferenciável em todo a > 3.

-> se a=3




 Como os limites laterais são diferentes, f(x) não é diferenciável em x =3. Logo, não satisfaz o teorema do valor médio.

Bom, se os limites laterais são diferentes, é isso mesmo  Nãomse esqueça de satisfazer todas as hipótes, na próxima

Até, boa resolução

Obrigada pela ajuda, Giovanna! Até mais...