Gravitaçao universal fisica

por leopinna Sex 05 Jul 2013, 15:20

Em um planeta distante da Terra, em outro sistema
planetário, cientistas, obviamente alienígenas, estudam a
colocação de uma estação orbital entre o seu planeta e sua lua,
conforme pode ser visto na figura. Visando ajudá-los, determine
a que distância, em km, do centro do planeta a estação
(considerada uma partícula) deve ser colocada, de forma que a
resultante das forças gravitacionais que atuam sobre a estação
seja nula.
Observações:
-Massa do planeta alienígena: 25 . 10^20 kg.
-Massa da lua alienígena: 4 . 10^18 kg.
-Distância do centro do planeta ao centro da lua: 312 .10^3 km.
-Considere o instante em que o planeta, a lua e a estação estão
alinhados, conforme a figura.
Gravitaçao universal fisica Lyj9

resposta= 3.10^5

caso eu tenha postado no lugar errado me fala ai.

por kakaroto Sex 05 Jul 2013, 15:45

O lugar certo para este post é na mecânica, mas blz.

a fórmula da força gravitacional -> F=(G.M.m)/d²

Se a resultante é nula as forças gravitacionais que a terra aplica na estação é igual a força que a lua aplica na estação ->

M(massa da terra)/d1²=M'(massa da lua)/d2² -> 25.10^(20)/d1²= 4.10^(18)/d2² -> (d1/d2)²=25.10^(20)/4.10^(18) -> d1/d2=25 -> d1=25d2 , sabendo essa relação entre as distâncias fica fácil.

3,12.10^(5)/26=0,12.10^(5) -> 0,12.10^(5)=d2

25.0,12.10^(5)=3.10^(5) -> 3.10^(5)=d1

por **Euclides** Sex 05 Jul 2013, 16:40

Movido para Mecânica.

por WaldirOmatematico Ter 12 Abr 2016, 10:33

A resolução ficou extremamente confusa! Favor ajeitar.

por **Christian M. Martins** Ter 12 Abr 2016, 10:52

As forças gravitacionais atuantes na estação devem se anular; assim, sendo F_P e F_L, respectivamente, a força de atração proveniente do planeta e da lua, deve-se ter:

F_P = F_L

Sendo m a massa da estação, M a massa do planeta, M' a massa da lua, d a distância do planeta à estação e d' a distância da lua à estação, tem-se:

GMm/d² = GM'm/d'²
M/d² = M'/d'²

Chamando de x a distância do planeta à lua, note que:

x - d = d'

Então:

M/d² = M'/(x - d)²
M(x² - 2xd + d²) = M'd²
Mx² - 2Mxd + Md² - M'd² = 0
d²(M - M') - d(2Mx) + Mx² = 0

Resolvendo a equação de segundo grau tem-se:

d₁ = 300.000 km = 3x10⁵ km (válido)
d₂ = 325.000 km = 3,25x10⁵ km (inválido, já que esse ponto encontra-se após a lua)

por **Elcioschin** Ter 12 Abr 2016, 11:32

Nem precisava da equação do 2º grau:

25.10²⁰ .......... 4.10¹⁸
--------- = -------------------
.. x² ......... (3,12.10⁵ - x)²

Extraindo a raiz quadrada dos dois membros:

5.10¹⁰ .......... 2.10⁹
--------- = -------------------
. x ...... ... (3,12.10⁵ - x)

. 25 .......... ........1
--------- = ------------------- ---> 25.(3,12.10⁵ - x) = x
.. x ...... ... (3,12.10⁵ - x)

26.x = 78.10⁵ ---> x = 3.10⁵ km

por **Christian M. Martins** Ter 12 Abr 2016, 11:35

Essa foi a mesma solução proposta pelo usuário "kakaroto", Élcio, e "WaldirOmatematico" não aparenta ter gostado dela; por isso optei por outra formatação de resposta ao problema.

por **Elcioschin** Ter 12 Abr 2016, 11:38

Christian

O colega Waldir não gostou apenas da forma de apresentação do resultado do colega kakaroto.

Tanto a sua apresentação quanto a minha atendem ao pedido do Waldir.