Limites) Teorema do Confronto

Sejam a,b e c reais e fixos, suponha que, para qualquer x, |ax^2 + bx + c|<=|x|^3 Prove que a=b=c=0.

Comecei uma resolução mas não tenho certeza se está totalmente correta.
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Seja f: R ---> R uma função da forma f(x) = ax^2 + bx + c. Supondo que |f(x)| <= |x|^3, a partir da definição de módulo em R:

Se x >=0: -x^3 <= f(x) <= x^3
Se x < 0d x^3 <= f(x) <= -x^3

Segue, do Teorema do confronto:

Lim_{x -> xo} x^3 = lim_{x->xo} -x^3 = L => lim_{x->xo} f(x) = L

para ambas as desigualdades acima.

Sendo g(x) = x^3 e h(x) = -x^3 funções de domínio real e polinomiais, elas são contínuas para qualquer valor de x pertencente aos reais. Assim:

lim_{x->xo} g(x) = g(xo) e lim_{x->xo} h(x) = h(x0).

o único valor L que satisfaz a igualdade Lim_{x -> xo} x^3 = Lim_{x->xo} -x^3 = L é, então, 0. E consequentemente, lim_{x->xo} f(x) = 0

Como f(x) é também polinomial e contínua, devemos ter que f(x) = 0 = ax^2 + bx + c, para qualquer x. Logo, para x qualquer, devemos ter a=b=c=0 para f(x) = 0.

Peço que se alguém tiver uma correção, por favor tente utilizar a maior parte possível da minha resolução.

Obrigada