Divisibilidade

Qual é o resto de 2 elevado a 2001 por (2 elevado a 7) menos 1

a)1 b)2^6 c) 2^7 d) 3^7 e)3^6

RESPOSTA: b)

2k3d escreveu:Qual é o resto de 2 elevado a 2001 por (2 elevado a 7) menos 1

a)1 b)2^6 c) 2^7 d) 3^7 e)3^6

RESPOSTA: b)

Bom dia,

Calculando os restos que as sucessivas potências e 2 deixam ao serem divididas por (2⁷-1), e iniciando o teste a partir de 2⁷, vem:

(r) 2⁷

/127 = 1 = 1
(r) 2⁸

/127 = 1*2 = 2
(r) 2⁹

/127 = 2*2 = 4
(r) 2¹º/127 = 4*2 = 8
(r) 2¹¹/127 = 8*2 = 16
(r) 2¹²/127 = 16*2 = 32
(r) 2¹³/127 = 32*2 = 64
(r) 2¹⁴/127 = 64*2 = 128 = 1 (porque (r)128/127=1)

Assim, a partir da potência 2¹⁴ os restos tornam a repetir-se (1,2,4,8,16,32,64) em grupos de 7 restos cada um.

Ora, da potência 2¹⁴ até a 2²°°¹ são:
2001 - 14 = 1987 potências.

Vejamos, então, quantos grupos de 7 potências cabem nessa faixa:
1987/7 = 283 grupos completos e sobra uma fração correspondente a 6 potências.

Portanto, conclui-se que:

(r) 2²°°¹/(2⁷-1) = 2⁶

Alternativa (b)







Um abraço.