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por Dinheirow Dom 10 Fev 2013, 21:03
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em polinômios não constantes com coeficientes inteiros
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Dinheirow- Jedi
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Re: Fatoração
por Robson Jr. Dom 10 Fev 2013, 22:06
LEMA: Seja p(x) = x^a + x^b + x^c. Se os expoentes a, b e c deixarem todos os restos possíveis na divisão por 3, p(x) será divisível por x² + x + 1.
Veja que 10, 5 e 0 deixam, respectivamente, restos 1, 2 e 0 na divisão por 3. Do lema, temos que a^10 + a^5 + 1 é divisível por a² + a + 1, bastando uma simples divisão de polinômios para finalizar a questão. Você chegará em:
(a^8-a^7 +a^5-a^4+a^2-a+1) "\small a^{10}+a^5+1=(a^2+a+1)(a^8-a^7 +a^5-a^4+a^2-a+1)")
Obs.: Esse lema pode ser generalizado para n coeficientes, de modo que a presença dos restos de n implicará em divisão de p(x) por x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1.
Veja que 10, 5 e 0 deixam, respectivamente, restos 1, 2 e 0 na divisão por 3. Do lema, temos que a^10 + a^5 + 1 é divisível por a² + a + 1, bastando uma simples divisão de polinômios para finalizar a questão. Você chegará em:
Obs.: Esse lema pode ser generalizado para n coeficientes, de modo que a presença dos restos de n implicará em divisão de p(x) por x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1.
Robson Jr.- Fera
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Dinheirow- Jedi
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