Questão de PG

por Glauber Damasceno Qua 14 Nov 2012, 09:43

Calcule a soma dos termos da sequência :
1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/9 + 1/8 + 1/27 + ...

Desde já grato.

por **Leonardo Sueiro** Qua 14 Nov 2012, 10:19

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{8} + \frac{1}{27} + ... = 2^{-1} + 3^{-1} + 2^{-2} + 3^{-2} + 2^{-3} + 3^{-3} ...$

Temos então duas somas de PG, ambas com razão igual a meio e primeiros termos iguais a $2^{-1} \,e\, 3^{-1}$

$\sum Pg_{1} + \sum Pg_{2} = \frac{2^{_{-1}}((\frac{1}{2}^n )- 1)}{\frac{1}{2} - 1} + \frac{3^{_{-1}}((\frac{1}{2}^n) - 1)}{\frac{1}{2} - 1}$

Como n tende ao infinito, $(\frac{1}{2})^n$ tende a zero

$\sum Pg_{1} + \sum Pg_{2} = \frac{2^{_{-1}}(- 1)}{\frac{1}{2} - 1} + \frac{3^{_{-1}}(- 1)}{\frac{1}{2} - 1} = 1 + \frac{2}{3}$

${\color{Red} = \frac{5}{3}}$

por Glauber Damasceno Qua 14 Nov 2012, 10:28

Obrigado camarada leosueiro123.

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