funções, trigonometria, inequação

por victord Dom 11 Nov 2012, 01:56

(ITA) Dado o polinômio P(x) = senΘ - (tgΘ).x + (sec²Θ).x², os valores de Θ no intervalo [0, 2π] tais que P(x) admita somente raízes reais são?

por **Leonardo Sueiro** Dom 11 Nov 2012, 09:21

senΘ - (tgΘ).x + (sec²Θ).x² = 0

Baskára:
$x = \frac{tg\theta \pm \sqrt{tg^2\theta - \frac{4tg\theta }{cos\theta }}}{\frac{2}{cos^2\theta }} \rightarrow x = (tg\theta \pm \sqrt{seno^2\theta - 4seno\theta })\frac{cos\theta }{2}$

Denominador não pode zerar(veja na equação inicial que sec² = 1/cos²): $cos^2\Theta \neq 0$

Para as raízes serem reais, a parte dentro da raiz tem que ser positiva:

$seno^2\theta - 4seno\theta \geq 0{\color{Red} (1)} \\ seno\theta = a{\color{Red} (2)} \\\\ (2) em (1)\\ a^2 - 4a\geq 0\\\\$

$a \leq 0 ou a \geq 4$

A segunda não nos interessa, pois não há seno>4:
Substituindo por (2):

$seno\Theta \leq 0 \\\\ 180º \leq \Theta < 270º \\ou\\270 < \Theta \leq 360º$
Intervalo aberto em 270º por causa da condição do denominador ≠ 0:

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