Polinômios

Numa equação do terceiro grau, o primeiro coeficiente é 1, o segundo é igual a 2, o terceiro desconhecido e o último é 8. Sabendo que essa equação tem as três raízes em P.G., pede-se determinar as raízes e escrever a equação.

R: S = { - 2, 2i, - 2i } ; x³ + 2x² + 4x + 8 = 0

Hola José Carlos.

Se as raízes estão em P.G., então vamos dizer que as raízes são: (a, ar, ar²), onde "a" é o primeiro termo e "r" é a razão. São 3 raízes porque é x "ao cubo", ok?
D enunciado podemos montar o esqueleto da equação: 1x³ + 2x² + mx + 8 = 0

Podemos escrever as raízes de um polinômio de 3º grau como o produto:

(x - a)*(x - ar)*(x - ar²) = 0, Agora vamos desenvolver tudo isso:

(x - a)(x - ar)(x - ar²) = 0
(x² -arx - ax + a²r)(x - ar²) = 0
x³ - arx² - ax² + a²rx - ar²x² + a²r³x + a²r²x - a³r³ = 0

vamos separar tudo em termos de x³, x², x, assim:

x³ + (-ar - a - ar²) x² + (a²r + a²r³ + a²r²) x - a³r³ = 0

agora você precisa igualar com o equação dada, tudo o que tem x³ com x³, x² com x², etc....

x³ + (-ar - a - ar²) x² + (a²r + a²r³ + a²r²) x - a³r³ = x³ + 2x² m x +8 = 0

x³ = x³ => ok.

2x² = (-ar - a - ar²) x² => 2 = -ar - a - ar² =>
a + ar + ar² = - 2 (i)

mx = (a²r + a²r³ + a²r²)x =>
m = a²r + a²r³ + a²r² (ii)

- a³r³ = - 8 => (ar)³ = 2³ =>
ar = 2 (iii) => vamos substituir esse valor em (i), assim:

a + ar + ar² = - 2
a + ar + (ar)*r = -2
a + (-2) + (-2)r = - 2
a - 2 - 2r = -2
a - 2r = a
a = 2r, substituindo em (iii), encontramos:

ar = 2 (iii)
2r*r = -2
2r² = - 2
r² = -2/2
r² = - 1
r = ±√-1
r = ±i, logo:

a = 2r
a' = 2*i
a'' = -2*i

m = a²r + a²r³ + a²r²
m = a*(ar) + (ar)²*r + (ar)², como ar = -2, vem que:
m = a*(-2) + (-2)²*r + (-2)²
m = -2a + 4r + 4, mas a = 2r, então:
m = -2*(2r) + 4r + 4
m = - 4r + 4r + 4
m = 4

Já sabemos que duas raízes da equação que são ±2i, logo a terceira raiz é um dos divisores de 8 = {±1, ±2, ±4, ±8}, por tentativas ou por Briot-Ruffini chegamos a raiz:
- 2.

Creio que ficou meio complicado.

Olá Paulo,

Muito obrigado pela resolução, valeu mesmo.

Abração.