Sistema '

por Nat' Qui 02 Ago 2012, 20:17

Me ajudem por favor!!

Resolva o sistema:

2x²/(1 + x²) = y

2y²/(1 + y²) = z

2z²/(1 + z²) = x

Resposta: {(1,1,1);(0,0,0)}

Obrigada!

por **Robson Jr.** Sáb 04 Ago 2012, 13:36

1º caso: As incógnitas são não-nulas

Isso permite a gente fazer uma manipulação bem maneiras. Olha:

$\small \\ \frac{2x^2}{(1+x^2)}=y \Leftrightarrow \frac{1}{2x^2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{y} \Leftrightarrow {\color{DarkBlue} \frac{1}{x^2}+1=\frac{2}{y}} \\\\ \frac{2y^2}{(1+y^2)}=z \Leftrightarrow \frac{1}{2y^2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{z} \Leftrightarrow {\color{DarkBlue} \frac{1}{y^2}+1=\frac{2}{z}} \\\\ \frac{2z^2}{(1+z^2)}=x \Leftrightarrow \frac{1}{2z^2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{x} \Leftrightarrow {\color{DarkBlue} \frac{1}{z^2}+1=\frac{2}{x}}$

Agora vamos somar todas as equações em azul:

$\small \\ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+1+1+1=\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z} \\\\ \left ( \frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}+1 \right )+\left ( \frac{1}{y^2}-\frac{2}{y}+1 \right )+\left ( \frac{1}{z^2}-\frac{2}{z}+1 \right )=0 \\\\ \left ( \frac{1}{x}-1 \right )^2+\left ( \frac{1}{y}-1 \right )^2+\left ( \frac{1}{z}-1 \right )^2=0$

A soma de quadrados será nula somente se todos forem nulos.

$\small \\ \frac{1}{x}-1=0 \Leftrightarrow {\color{Red} x=1} \\\\ \frac{1}{y}-1=0 \Leftrightarrow {\color{Red} y=1} \\\\ \frac{1}{z}-1=0 \Leftrightarrow {\color{Red} z=1}$

Solução: (1, 1, 1)

2º caso: Pelo menos uma das incógnitas é nula.

Suponhamos x = 0.

$\small \\ \text{Se }{\color{Red} x=0 }: \ \frac{2.0^2}{1+0}=y \Leftrightarrow {\color{Red} y=0} \\\\ \text{Como }y=0: \ \frac{2.0^2}{1+0}=z \Leftrightarrow {\color{Red} z=0}$

Ou seja, uma das incógnitas ser nula implica todas serem nulas. Solução: (0, 0, 0)

por Nat' Seg 06 Ago 2012, 14:38

Nossa eu nunca tinha pensado em resolver um sitema dividindo em casos dessa maneira! Gostei! Wink

Muito obrigada pela ajuda!

por **Robson Jr.** Seg 06 Ago 2012, 14:55

Eu percebi que aquela inversão no início seria uma boa ideia, mas se houvessem incógnitas nulas não seria possível continuar. Daí a necessidade de dividir em casos.

Essa divisão não é rara nesses sistemas sinistrinhos. Smile

por Nat' Seg 06 Ago 2012, 15:35

Ah legal... Obrigada pela dica Wink

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