Determinar P

por Carolinalisboa3 Sáb 21 Jul 2012, 00:32

G.13) Dados os pontos M(a,O), e N(O, a) , determinar P de modo que o triângulo MNP seja equilátero.
Resposta:P(a+a raiz3sobre 2, a+a raiz3 sobre 2) ou
P(a-a raiz 3 sobre 2, a-a raiz 3 sobre 2)

Desde já agradeço a ajuda de vocês!

por **Bá Poli** Sáb 21 Jul 2012, 13:37

P (x,y)

dMN = dMP = dNP

dMN = √(a-o)² +(0-a)² ---> dMN = a√2

dMP = √(x-a)² + (y-0)² ---> dMP = √(x-a)² + y²

dNP = √(0-x)² + (a-y)² ---> dNP = √x² + (a-y)²

√(x-a)² + y² = √x² + (a-y)²

x² - 2ax + a² + y² = x² + a² - 2ay + y²
-2ax = -2ay
x = y

dPM = a√2
√(x-a)² + y² = a√2
elevando ambos os lados ao quadrado e como x = y:

x² - 2ax + a² + x² = 2a²
2x²-2ax-a²=0

Δ=b²-4.a.c
4a²+8a²=12a²
√Δ=2a√3
x= (2a ∓ 2a√3)/4

x = (a∓a√3)/2

se x = (a+a√3)/2 --> y = (a+a√3)/2

se x = (a- a√3)/2 --> y = (a-a√3)/2

P ( a- a√3)/2, (a-a√3)/2 ) ou
P ( ( a+ a√3)/2, (a+a√3)/2 )