Domínio da função

por Lilian Cristina da Costa Dom 01 Jul 2012, 14:52

f(x) =( x^4 -3x^3 -6x^2 + 7x -6) / ( x^4 +4x^3 -5x )
a) qual o domínio e a imagem da função?

Fiz assim,
numerador= f(x1) = R ( reais )

denominador= f(x2)
x^4 + 4x^3 -5x diferente de 0
x( x^3 +4x^2 -5) diferente de 0
x diferente de 0
x^3 + 4x^2 -5 diferente de 0
x^3 + 4x^2 diferente de 5
x^2 ( x + 4 ) diferente de 5
x^2 diferente de 5
x diferente de +- raiz de 5

x+4 diferente de 5
x diferente de 1

D(f) = R - { 0,1 }
Im(f) = R
Será que alguém pode me orientar, se está correto ou não ? Sad

por **Robson Jr.** Dom 01 Jul 2012, 16:05

Lilian Cristina da Costa escreveu:f(x) =( x^4 -3x^3 -6x^2 + 7x -6) / ( x^4 +4x^3 -5x )
a) qual o domínio e a imagem da função?

Fiz assim,
numerador= f(x1) = R ( reais )

denominador= f(x2)
x^4 + 4x^3 -5x diferente de 0
x( x^3 +4x^2 -5) diferente de 0
x diferente de 0
x^3 + 4x^2 -5 diferente de 0
x^3 + 4x^2 diferente de 5

Até aqui tudo certo.

Lilian Cristina da Costa escreveu:
x^2 ( x + 4 ) diferente de 5
x^2 diferente de 5

No trecho em negrito você comete um erro. Para que x²(x+4) ≠ 5, eu não preciso necessariamente que x² ≠ 5. Por exemplo, se eu fizesse x = √5, x² seria cinco e ainda assim x²(x+4) seria diferente de cinco.

Deve-se achar as raízes de x²(x+4) = 5 para, então, evitá-las.

x²(x+4) = 5 ⇒ x³ + 4x² = 5.

É fácil ver que x = 1 é raíz. Isso permite abaixar o grau do polinômio para procurar as outras raízes.

Dividindo x³+4x²-5 por x-1, obtemos x² + 5x + 5.

x² + 5x + 5 = 0 ⇒ x = (-5 +- √5)/2

Então, os números que zeram o denominador (e devem ser retirados do domínio) são:

x = 0, x = 1, x = (-5+√5)/2 e x = (-5-√5)/2