Racionais e Irracionais

Prove as seguintes proposições:
a) Se r for um número irracional então 1/r também será.
b) Se x e y forem números irracionais tal que x² -y² seja racional não-nulo, então x+y e x-y também serão irracionais.
c) A soma ou a diferença entre um número racional e um número irracional é um número irracional. Com um contra-exemplo, mostre que o produto de dois números irracionais pode ser racional.
d) √3 é irracional.
e) √2 não pertence aos racionais.

Xi !

Muita coisa em um post só !

Vai com calma ... :face:

a) r ≠ p/q ⇒

qr ≠ qp/q ⇒

qr ≠ p ⇒

qr/p ≠ p/p ⇒

qr/p ≠ 1 ⇒

(qr/p)(1/r) ≠ 1(1/r) ⇒

q/p ≠ 1/r ■

Por absurdo:

r ≠ q/p

Se

1/r = p/q ⇒ r = q/p !!!


c) C.Ex.: V(2).V(2) = 2

e) V(2) ≠ p/q

Por Absurdo:

Se

V(2) = p/q Onde p/q é a fração mais reduzida possível, p e q primos entre si.

⇒

p²/q² = 2 ⇒

p² = 2q² ⇒

p² é par ⇒

p é par ⇒

p = 2m ⇒

p² = 4m²

4m² = 2q²

2m² = q²

q² é par

q é par

se p e q são pares, NÃO SÃo primos entre si !!! ABSURDO !!!

V(2) ≠ p/q ■

As outras deixo pra você !

Dica:

Não ponha muitas questões em um único post...

Subdivide-as...

Vai assim ter mais probabilidades de alguém vir ajudar...

Saudações irracionais !