Cone + Esfera

(UFMG) Inscreve-se um cone de altura H numa esfera de raio 1, de modo que o volume da esfera seja quatro vezes o volume do cone. Determine os valores de H para os quais isso é possível.





Solução:
h=1 ou h= (√5) - 1/2

Eu tentei fazer, mas só obtive o 1 como reposta T.T

R = raio esfera = 1
r = raio do cone
H = h = altura do cone.

Existe uma relação entre R, r e h
R² = r² + (h - R)²
1 = r² + h² - 2h + 1
r ² + h² - 2h = 0

Volume do cone (Vc) e da esfera (Ve):
Vc = πr².h/3
Ve = 4πR³/3 = 4π/3

Relação dada no enunciado:
Ve = 4Vc
4π/3 = 4(πr²h/3)
π/3 = πr²h/3
π = πr²h
r²h = 1
r² = 1/h

Substituindo na relação dita anteriormente:
r² + h² - 2h = 0
(1/h) + h² - 2h = 0
h³ - 2h² + 1 = 0
(h - 1)(h² - h - 1) = 0

Se (h - 1) = 0 -----> h = 1
Se (h² - h - 1) = 0 ------> h' = (1 + V5)/2; . . . . . . h'' = (1 - V5)/2 (h'' é negativo - não convêm)

Está diferente do gabarito, será que errei em algum pedaço, ou errei tudo, ou o gabarito está errado?

Parece que o gabarito está erradoi

um valor tava errado msm