Aritmética Elementar: MMC, cap. 09

Questão 6) Calcular dois números que têm 60 para mmc e que estejam entre si como:

a) 2 está para 5:

Gab.: 12 e 30

Consegui resolver por tentativa e erro, mas gostaria de saber se tem uma resolução mais "correta/formal" para essa questão

Sejam dois números inteiros x e y tal que:

x/y = 2/5 
mmc(x,y) = 60

Isolando x, temos: x = 2y/5

Teorema: se x e y são inteiros, então mdc(x,y)*mmc(x,y) = x*y
Logo, mdc(x,y)*60 = x*y
mdc(x,y) = y²/150

Ao multiplicarmos mdc(x,y) pelo fator y que é primo de x, chegamos a y.
Observe que o fator y que é primo de x é justamente o 5.

5*y²/150 = y
y = 30


Logo, x/30 = 2/5
x = 12
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A mesma ideia vale para x. Poderíamos isolar o y na primeira equação:
y = 5x/2

E dizer que:
mdc(x,y)*60 = 5x²/2
mdc(x,y) = x²/24

Então, multiplicando mdc(x,y) pelo fator x que é primo de y (2), tem-se x.

2x²/24 = x
x = 12
Logo, 12/y = 2/5
y = 30



Mas é claro que fazer por tentativa e erro é bem mais prático nesse caso, pois os dois números são pequenos. Abraço!