Pirâmide de base triangular

A base de uma pirâmide é um triângulo isósceles cuja base mede 30 cm e cujo ângulo do vértice é 120º. A altura da pirâmide mede 10 cm e passa pelo centro da circunferência circunscrita à base. Determine a medida da aresta lateral de pirâmide.


Gabarito: 20 cm

Como proposto no enunciado há duas medidas diferentes de aresta lateral.

Medeiros escreveu:Como proposto no enunciado há duas medidas diferentes de aresta lateral.

Olá, Medeiros! Pior que o enunciado é assim mesmo, como está no livro.
Havia chego em 10√3 apenas aplicando uma lei dos cossenos com aquele ângulo; achei estranho não usar todas as outras informações que ele disse. Qual foi a resposta que você encontrou?

Elcioschin escreveu:O que vc calculou é apenas o valor dos lados iguais do triângulo da base:

Seja ABC o teriângulo da base com AB = AC = a, BC = 30 e A^BC = 120º

A^BC = A^CB = 30º

AB.cos30 + AC.cos30º = BC ---> L.√3/2 + L.√3/2 = 30 ---> AB = AC = L = 10.√3


Desenhe o triângulo ABC e inscreva nele uma circunferência de centro O que tangencia AB em M, AC em N e BC em P


OM = ON = OP = r


AP = AB.cosA^BC ---> AP = (10.√3).cos30º ---> AP = 15


OA.cos30º = OM ---> O.(√32/) = r ---> Calcule r 


Continue e calcul o valor de r


Agora trace a pirâmide vértice V ---> trace AV, BV e CV ---> Note que BC = CV ≠ AV


Temos, portanto, dois tamanhos de arestas, conforme dito pelo Medeiros. 

Élcio,creio que o enunciado quis dizer que o triângulo da base está circunscrito

Agora entendi perfeitamente! Interpretei bem mal aquele ângulo de 120º.
Medeiros, Elcio e Petras, muito obrigado pela ajuda!

Consegui completar uma outra resolução que tinha pensado, mas que não foi para frente. O problema era aquele ângulo. Vou compartilhá-la para complementar o tópico:

Seja essa pirâmide de vértice D, base triangular ABC e aresta lateral l. Dado que A^BC é 120º e BC = 30. Pela lei dos senos:

\(\frac{30}{sen(\frac{2 \pi}{3})} = 2R \implies R = 10\sqrt3 \)

Olhando o triângulo ABC: seja O seu circuncentro. Do triângulo retângulo AOC:

\( (10)^2 + R^2 = l^2 \implies l^2 = 300 + 100 \therefore \boxed{l = 20 cm}\)

Apesar que olhando o desenho do Petras, essa minha resolução coincidiu com o resultado por pura sorte? Afinal, na resolução, indiretamente, acabei criando uma situação ideal e simétrica demais à generalidade do problema.

Tens razão petras: eu li errado e achei que a circunferência era inscrita.

Zeroberto escreveu:

Medeiros escreveu:Como proposto no enunciado há duas medidas diferentes de aresta lateral.

Olá, Medeiros! Pior que o enunciado é assim mesmo, como está no livro.
Havia chego em 10√3 apenas aplicando uma lei dos cossenos com aquele ângulo; achei estranho não usar todas as outras informações que ele disse. Qual foi a resposta que você encontrou?

Ze Roberto,

eu não havia encontrado resposta alguma. Na ocasião li o enunciado pelo celular e no ônibus. Não atentei para o "circunscrita" e imaginei a pirâmide desenhada abaixo; fiquei contente que era uma pirâmide inclinada, com o pé da altura fora da base e por esse desenho mental achei que seriam duas arestas laterais diferentes. Mas nem pensei a respeito, deixei para resolver quando tivesse tempo e se ninguém ainda o houvesse feito. Claro que meu desenho não atende ao enunciado mas isto eu só veria se fosse resolver porque aí fica faltando o raio.


A propósito, Zé Roberto, achei a sua solução mais eficiente. Em duas linhas, de forma transparente, você chegou na resposta.