Equações algébricas ou polinomias

por DGL72021 Sáb 11 Mar 2023, 23:51

O polinômio x² -6x + 25 divide s(x) = x⁴ + px² + qx + r, sendo p, q e r coeficientes reais. Sabendo que s(x) não possui raízes reais:

a) determine o intervalo de valores que p pode assumir;

b) expresse r e q em função de p.

Gabarito:

a) {p ∈ R | p > -2}
b) r = 25p + 275; q = 84 - 6p

por **Elcioschin** Dom 12 Mar 2023, 00:21

x⁴ + 0.x³ + p.x² + q.x + r |x² - 6.x + 25

Faça a divisão acima, usando o Método da Chave, iguale casa parcela do resto a zero e complete.

Obs.: As 4 raízes são complexas do tipo x1 = a + b.i, x2 = a - b.i, x3 = c + d.i, x4 = c - di

por **Giovana Martins** Dom 12 Mar 2023, 10:09

Outro modo:

Por Girard:

a + b + c + d = 3 - 4i + 3 + 4i + c + d = 0 → c + d = - 6

Por Girard:

abcd = r → (3 + 4i)(3 - 4i)cd = r → cd = r/25

Por Girard:

ab + a(c + d) + b(c + d) + cd = p → 25 - 6(3 - 4i) - 6(3 + 4i) + (r/25) = p → r = 25p + 275

Por Girard:

ab(c + d) + cd(a + b) = - q → 25 . (-6) + 6cd = - q → (6r/25) - 150 = - q

De (r/25) = p + 11, vem: (6r/25) = 6p + 66 = 150 - q → 6p = 84 - q → q = 84 - 6p

Podemos escrever S(x) em função de p, veja:

S(x) = x⁴ + px² + (84 - 6p)x + 25p + 275

Manipulando S(x):

S(x) = (x²- 6x + 25)p + (x⁴ + 84x + 275) = (x² - 6x + 25)p + (x² - 6x + 25)(x² + 6x + 11)

S(x) = (x²- 6x + 25)(x² + 6x + 11 + p) = U(x)Z(x)

Queremos S(x) > 0 para todo x. Note que U(x) = x² - 6x + 25, por ter raízes complexas e pelo fato de o coeficiente do termo de maior grau de U(x) ser maior que zero, tem-se que U(x) é maior que 0 para todo x.

Neste caso, devemos então impor que Z(x) seja maior que zero para todo x.

Sendo Z(x) = x² + 6x + 11 + p. Neste caso, Z(x) é maior que zero para todo x quando o discriminante de Z(x) for menor que zero, logo:

∆ < 0 → (6)² - (4) . (1) . (11 + p) < 0 → p > - 2

Portanto, S(x) = x⁴ + px² + (84 - 6p)x + 25p + 275 > 0 para todo x sempre que p > - 2.

Não tentei fazer do jeito do Élcio, mas acho que o jeito dele vale mais a pena por ter que lidar com menos contas e porque é mais fácil executar a divisão pelo método da chave do que lembrar como funciona o método de Girard para um polinômio de grau 4.

por **Elcioschin** Dom 12 Mar 2023, 11:22

Existe mais um método: usar o dispositivo de Briott-Ruffini

Como a Giovana mostrou, para x² - 6.x + 25 = 0 as raízes são (3 + 4.i) e (3 - 4.i)

Para a raiz x = 3 + 4.i ---> Dividindo obtém-se um polinômio de 3º grau:

_____| 1 ------- 0 ---------- p ----------- q ----------- r
3+4.i | 1 ...... 3+4.i .... p-7+24.i ... etc.

Fazendo de modo similar obtém-se um polinômio de 2º grau

Iguale este polinômio a zero e obtenha as outas duas raízes complexas

De qualquer modo, é uma questão trabalhosa.

por **Giovana Martins** Dom 12 Mar 2023, 11:43

Elcioschin escreveu:Existe mais um método: usar o dispositivo de Briott-Ruffini

Como a Giovana mostrou, para x² - 6.x + 25 = 0 as raízes são (3 + 4.i) e (3 - 4.i)

Para a raiz x = 3 + 4.i ---> Dividindo obtém-se um polinômio de 3º grau:

_____| 1 ------- 0 ---------- p ----------- q ----------- r
3+4.i | 1 ...... 3+4.i .... p-7+24.i ... etc.

Fazendo de modo similar obtém-se um polinômio de 2º grau

Iguale este polinômio a zero e obtenha as outas duas raízes complexas

De qualquer modo, é uma questão trabalhosa.

Pois é. Esta questão é complicadinha. Obrigada.