Equações algébricas ou polinomias

por DGL72021 Sáb 25 Fev 2023, 00:37

Resolva em C, a equação: (x⁴ -1) (-x² -9) ( x³ -6x² + 5x) = 0

Eu encontrei todas as raízes resolvendo cada polinômio, menos -i e +i. Gostaria de saber se x⁴=1 ---> ±1 como são quatro raízes essas seriam ±i pela consequência do teorema da decomposição

Gabarito:±1, ±i, 5, 0, ±3i

por al171 Sáb 25 Fev 2023, 01:27

Sabemos que \( i^2 = -1\). Logo, \( {\color{green}{-i^2 = 1} }\):
\[
\begin{align*}
x^4 & = 1 \\
x^4 - 1 & = 0 \\
(x^2-1)(x^2 {\color{green}{+1} }) & = 0 \\
(x-1)(x+1)(x^2 {\color{green}{- i^2} }) & = 0\\
(x-1)(x+1)(x-i)(x+i) & = 0
\end{align*}
\]

por **Elcioschin** Sáb 25 Fev 2023, 13:36

Outro modo, usando Briott-Ruffini para x = -1 e x = 1

__|1 .. 0 .. 0 .. 0 - 1
-1|1 .. -1 .1 . -1 . 0
+1|1 - 0 .. 1 ...0

Quociente restante ---> x² + 1 = 0 ---> x = -i x = +i