Simplificações

Simplifique a expressão tg(x) +  2tg(2x) + 4tg(4x) + 8cotg(8x) 







R: cotgx

\[
\begin{align*}
\tan \left( 2^k x  \right) & = \frac{ 2 \tan \left( 2^{k-1} x \right)}{1 - \tan^2 \left( 2^{k-1} x \right) }\\
1 & = \frac{ 2 \cot \left( 2^k x \right) }{\left( 1 - \tan^2\left( 2^{k-1} x \right) \right) \cot \left( 2^{k-1} x \right) } \\
1 & = \frac{ 2 \cot \left( 2^k x \right) }{\cot\left( 2^{k-1} x \right) - \tan \left( 2^{k-1} x \right) } \\[10pt]
\tan\left( 2^{k-1} x\right) & = \cot \left( 2^{k-1} x  \right) - 2 \cot \left( 2^k x  \right)
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
S & = {\color{red}{\tan x}} + {\color{green}{2\tan (2x)}} + {\color{blue}{4 \tan (4x)}} + 8 \cot(8x) \\
& ={\color{red}{\cot(x) - 2 \cot (2x)}} + {\color{green}{2 \left( \cot(2x) - 2 \cot(4x) \right)}} + {\color{blue}{ 4 \left( \cot(4x) - 2 \cot(8x) \right)}} + 8 \cot(8x) \\
& = \cot(x)
\end{align*}
\]

al171 escreveu:\[
\begin{align*}
\tan \left( 2^k x  \right) & = \frac{ 2 \tan \left( 2^{k-1} x \right)}{1 - \tan^2 \left( 2^{k-1} x \right) }\\
1 & = \frac{ 2 \cot \left( 2^k x \right) }{\left( 1 - \tan^2\left( 2^{k-1} x \right) \right) \cot \left( 2^{k-1} x \right) } \\
1 & = \frac{ 2 \cot \left( 2^k x \right) }{\cot\left( 2^{k-1} x \right) - \tan \left( 2^{k-1} x \right) } \\[10pt]
\tan\left( 2^{k-1} x\right) & = \cot \left( 2^{k-1} x  \right) - 2 \cot \left( 2^k x  \right)
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
S & = {\color{red}{\tan x}} + {\color{green}{2\tan (2x)}} + {\color{blue}{4 \tan (4x)}} + 8 \cot(8x) \\
& ={\color{red}{\cot(x) - 2 \cot (2x)}} + {\color{green}{2 \left( \cot(2x) - 2 \cot(4x) \right)}} + {\color{blue}{ 4 \left( \cot(4x) - 2 \cot(8x) \right)}} + 8 \cot(8x) \\
& = \cot(x)
\end{align*}
\]

Deixa eu ver se eu entendi. Você escreveu as tangentes em forma de cotg para ir cancelando uma com a outra?

Sim, a tangente do arco metade é igual a sua cotangente menos duas vezes a cotangente do arco duplo.

Eu substitui cada tangente de \( S \) de acordo com a correspondência cromática mediante a identidade anterior.

al171 escreveu:Sim, a tangente do arco metade é igual a sua cotangente menos duas vezes a cotangente do arco duplo.

Eu substitui cada tangente de \( S \) de acordo com a correspondência cromática mediante a identidade anterior.

Ook, valeu!