álgebra básica

por Júliawww_520 Qua 22 Fev 2023, 18:08

Se [latex]x = 2 + \sqrt[]{5}[/latex] , calcule [latex]x^{7} - 5473x[/latex]

eu fiz na raça (abri esse produto notável) e achei a resposta que é 1292, porém queria aprender um jeito mais rápido de resolver se for possível.

por catwopir Qua 22 Fev 2023, 18:47

aoba!
perceba que
2+√5 é raiz da seguinte equação
x²-4x-1=0

temos então:
x²=4x+1
x³=4x²+x
x³=4(4x+1)+x
x³=17x+4
x^6=289x²+136x+16
x^7=289x³+136x²+16x
x^7=289(17x+4)+136(4x+1)+16x
x^7=4,913x+1156+544x+136+16x
x^7=5473x+1292.

conseguimos escrever x^7 em função de x.

basta substituir agora.
x^7-5473x=5473x+1292-5473x=1292

é uma estratégia bem clássica trabalhar com a raiz de um polinômio, mas admito pensar isso sem nunca ter visto é quase impossível. Mas tá ai, sem muito estresse.

por Júliawww_520 Qua 22 Fev 2023, 18:55

catwopir escreveu:aoba!
perceba que
2+√5 é raiz da seguinte equação
x²-4x-1=0

temos então:
x²=4x+1
x³=4x²+x
x³=4(4x+1)+x
x³=17x+4
x^6=289x²+136x+16
x^7=289x³+136x²+16x
x^7=289(17x+4)+136(4x+1)+16x
x^7=4,913x+1156+544x+136+16x
x^7=5473x+1292.

conseguimos escrever x^7 em função de x.

basta substituir agora.
x^7-5473x=5473x+1292-5473x=1292

é uma estratégia bem clássica trabalhar com a raiz de um polinômio, mas admito pensar isso sem nunca ter visto é quase impossível. Mas tá ai, sem muito estresse.

pô como vc sabia que ele é raiz desse polinômio kkk???