ESPCEX - Funções

por Jvictors021 Ter 30 Ago 2022, 19:35

Sabe-se que as raízes da equação [latex]x^{3}-3x^{2}-6x+k=0[/latex] estão em progressão aritmética. Então podemos afirmar que o valor de k/2 é igual a

[A] 5/2. [B] 4. [C] 7/2. [D] 3. [E] 9/2

Gabarito B

Pessoal gostaria de saber o porquê da minha resolução estar errada.

Por girad teremos:

x - r + x + x + r = 3

3x = 3

x = 1

Sabemos que 1 é raiz (poderiamos substituir na equação e achar K, mas na hora compliquei mais atoa... )
seja:
x-r = a
x = b = 1
x+r = c

a+c = 2
a = 2 - c

ainda por Girard:
-K = a.b.c
-K = (2-c).1.(c)
-K = -c^2 +2c

(a+b)(a+c)(c+b) = -6
(2-c +1).(2).(c+1)
-2c^2 +4c = -12

-c^2 +2c = - 6

Logo
-K = -6
K = 6

K/2 = 3

por **Elcioschin** Ter 30 Ago 2022, 20:05

2ª e 3ª relação de Girard:

2ª) (x - r).x + (x - r).(x + r) + x.(x + r) = - 6

(1 - r).1 + (1 - r).(1 + r) + 1.(1 + r) = - 6 ---> Calcule r

3ª) (x - r).x.(x + r) = - k

(1 - r).1.(1 + r) = - k

1 - r² = - k ---> Calcule k

E seguindo a sua sugestão: 1³ - 3.1² - 6.1 + k = 0 ---> k = 8 ---> k/2 = 4

por Jvictors021 Qua 31 Ago 2022, 17:21

Seguindo esse raciocíneo eu teria que encontrar r, teria alguma maneira de fazer sem encontrá-lo, como mostrei, mestre ?

por **Elcioschin** Qui 01 Set 2022, 12:03

Note que, na sua solução você definiu suas incógnitas: x, r (onde x é o termo central da PA e r a razão da PA)
Além disso existe a incógnita k, do enunciado.

Para resolver a questão basta encontrar 3 equações: as 3 relações de Girard!

Ai você complicou, criando novas incógnitas a, b, c
Isto não é necessário pois a = x - r , b = x, c = x + r

(x - r) + x + (x + r) = 3 ---> 1ª relação

(x - r).x + (x - r).(x + r) + x.(x + r) = - 6 ---> 2ª relação

(x - r).x.(x + r) = - k ---> 3ª relação

Agora basta resolver o sistema e calcular k

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