FUVEST 1977 - 3º exame - nº complexo e função composta

por JohnnyC Sáb 21 maio 2022, 13:33

A função f: C - {0} --> C - {0} associa a z o número - (z barra)-¹, onde z barra é o conjugado de z. Então f²(z) = f(f(z)) vale

a) -(z)-²

b) z-²

c) - (z barra)-²

d) (z barra)-²

e) z

pessoal, não tenho o gabarito da questão. Poderiam ajudar ? obrigado

por **tales amaral** Sáb 21 maio 2022, 14:53

Se z = a+bi, então [latex]f(z) = -\dfrac{1}{a-bi} = -\dfrac{a+bi}{a^2+b^2}[/latex]. Jogando em f novamente: [latex]f(f(z)) = -\left(-\dfrac{a^2+b^2}{a-bi}\right) = \dfrac{\left(a^2+b^2\right) \cdot (a+bi)}{a^2+b^2} =a+bi = z[/latex].

Creio que seja isso cheers

por JohnnyC Sáb 21 maio 2022, 15:00

Poxa, muito simples. O enunciado que acabou me confundindo. Obrigado, Tales.

por JohnnyC Sáb 21 maio 2022, 21:23

amigo, poderia me mostrar o passo-a-passo da sua resolução ? eu compreendi como fez pra achar o f(z), mas o restante não estou conseguindo fazer. peguei agora pra resolver a questão rs

por **tales amaral** Dom 22 maio 2022, 08:17

JohnnyC escreveu:amigo, poderia me mostrar o passo-a-passo da sua resolução ? eu compreendi como fez pra achar o f(z), mas o restante não estou conseguindo fazer. peguei agora pra resolver a questão rs

Primeiro devemos achar o conjugado de f(z), que é [latex]\overline{f(z)} = -\dfrac{a-bi}{a^2+b^2}[/latex].

Elevando a -1 : [latex]\left [ \overline{f(z)}\right]^{-1} = -\dfrac{a^2+b^2}{a-bi}[/latex].

Multiplicando por -1: [latex]-\left[\overline{f(z)}\right]^{-1} = \dfrac{a^2+b^2}{a-bi}[/latex]

Desenvolvendo:

[latex]\begin{align*} f(f(z)) &= -\left[\overline{f(z)}\right]^{-1} \\~\\ &=\dfrac{a^2+b^2}{a-bi} \\~\\ &= \dfrac{a^2+b^2}{a-bi} \cdot \dfrac{a+bi}{a+bi} \\~\\ &= \dfrac{\left(a^2+b^2 \right )\cdot\left(a+bi\right)}{a^2-\left(bi \right )^2}\\~\\ &= \dfrac{\left(a^2+b^2 \right )\cdot\left(a+bi\right)}{a^2+b^2}\\~\\ &= a+bi \\~\\ &= z \end{align*}[/latex]