Equação trigonométrica

por **abelardo** Seg 17 Out 2011, 13:02

A igualdade $\tan (x)=a\cdot \cot (x)+b\cdot \cot (2x)$ é válida para todo x real tal que $x \neq \frac{k \pi }{2}$ . Determine a e b.

R/ a= 1 e b=-2

Fazendo $\tan x= y$ e lembrando que $\tan (2x)= \frac{2\tan x}{1-\tan ^2x}$ :

$\dpi{120} y=\frac{a}{y}+\frac{b}{\frac{2y}{1-y^2}}$

$\dpi{120} y=\frac{a}{y}+\frac{b(1-y^2)}{2y}$

$\dpi{120} y=\frac{2a+b-by^2}{2y}$

$\dpi{120} 2y^2=2a+b-by^2$

$\dpi{120} 2y^2+by^2=2a+b$

$\dpi{120} y^2\cdot(2+b)=2a+b$

$\dpi{120} \tan^2(x)\cdot(2+b)=2a+b$

Como a igualdade é válida para qualquer valor, penso que (2+b) e (2a+b) devem ser iguais a zero.

$\dpi{120} 2+b=0 \to b=-2$

$\dpi{120} 2a+b=0 \to a=1$

Alguém tem uma outra resolução? Postem os seus comentários sobre a minha resolução também.