Distribuição de Probabilidade - moeda viciada

Gente, tenho uma questão para solucionar, exponho ela abaixo: 

Sabe-se que determinada moeda apresenta cara 3 vezes mais frequentemente que coroa. essa moeda é jogada 3 vezes. seja X o número de caras que aparece. Estabeleça a distribuição de probabilidades de X.




Eu sei que a solução é tal: . P(X = 0) = (1/4)^3 , P(X = 1) = 3(1/4)^2 (3/4), P(X = 2) = 3(3/4^)2 (1/4), P(X = 3) = (3/4)^3.

Entretanto, não sei como chegar nessa solução, alguém poderia me dar o passo a passo ?

Seja C a probabilidade de sair coroa, logo a probabilidade de sair cara é 3C. Assim, temos que C + 3C = 1, logo C = 1/4. Portanto, a probabilidade de sair coroa é 1/4 e cara, 3/4.

Temos para a variável aleatória X os seguintes casos:

1) nenhuma cara, ou seja, X = 0. Isso ocorrerá quando nas três jogadas aparecer coroa, assim, temos 1/4 . 1/4 . 1/4 = (1/4)^3

2) uma cara, ou seja, X = 1. Nesse caso aparece uma cara e duas coroas (cara, coroa, coroa), ainda temos que considerar a permutação entre elas que são 3. Logo a probabilidade será 3 . 3/4 . 1/4 . 1/4 = 3 . 3/4 . (1/4)^2

3) duas caras, ou seja, X = 2. Aqui temos duas caras e uma coroa, (cara, cara, coroa), a permutação entre elas dá 3 no total, assim a probabilidade é 3 . 3/4 . 3/4 . 1/4 = 3 . (3/4)^2 . 1/4

4) três caras, ou seja, X = 3. Nas três jogadas aparecem caras, logo a probabilidade será 3/4 . 3/4 . 3/4 = (3/4)^3


Portanto, a distribuição de probabilidades é

[latex]\begin{array}{cc|cc|cc|cc|cc} \hline X && X=0&&X=1&&X=2&&X=3\\ \hline P(X)&& P(X=0)=\left ( \frac{1}{4} \right )^{3}&& P(X=1)= 3.\frac{3}{4}.\left ( \frac{1}{4} \right )^{2} && P(X=2)=3.\left ( \frac{3}{4} \right )^{2}.\frac{1}{4}&& P(X=0)=\left ( \frac{3}{4} \right )^{3}\\ \end{array}[/latex]