Determine m para que se tenha para ∀ x ∈ IR :

Olá, estou com uma duvida sobre inequação do FME,

Na questão 321 ele diz: 
321. Determine m de modo que a função quadrática f(x) = mx² + (2m - 1)x + (m + 1) seja positiva para todo x real.

A resolução apresentada:

Devemos ter simultaneamente ∆ < 0 e a > 0; portanto: 1º) ∆ = b² - 4.a.c = (2m - 1)² - 4.m.(m + 1) = 4m² - 4m + 1 - 4m² - 4m = -8m + 1 < 0 ⇒ m > 1/8 

2º) a = m > 0 ⇒ m > 0
Como as condições são simultâneas, concluímos que: (f(x) > 0, ∀ x ∈ IR) ⇔ m > 1/8.

A minha dúvida é, porque ele inverteu a desigualdade no final da inequação, sendo que se apenas "passar" o 1 iria se tornar -1, o -8 iria "passar" dividindo, e iria ficar -1/-8, que resultaria em 1/8, e que ao meu ver(posso estar errado) não mudaria o sinal da desigualdade.

Desde já agradeço!

Boa noite.

Supondo que a gente seguisse o seu caminho, ficaria:

-8m+1<0
-8m < -1 

De qualquer forma teríamos que multiplicar ambos os lados por -1, invertendo o sentido da desigualdade, ou seja:

8m>1
m>1/8

Se você quiser ser teimoso e mesmo assim optar por dividir os dois lados por -8, a regra se mantém já que em divisões por números negativos o sentido da inequação também muda:

-8m<-1
m>-1/-8
m>1/8

Outro modo de "enxergar", sem precisa multiplicar por -1:

- 8.m + 1 < 0 ---> 1 < 8.m ---> 1/8 < m ---> É o mesmo que m > 1/8

Agora sim, obrigado!