Exercício sobre mdc

. Seja n > 0 um número inteiro positivo composto e p seu menor fator primo. Sabe-se que p ≥ √ n e que p − 4 divide mdc(6n + 7, 3n + 2). Determine todos os possíveis valores de n.

Essa desigualdade p ≥ √n  ta parcialmente certa, veja.


Se p = Vn, então p² = n, ou seja, n é quadrado perfeito e n seria o único fator primo de p. 

Mas se p > Vn, considerando que p é o menor fator primo de n, temos um absurdo

Como p divide n, então existe um k tal que

n = p . k

Pela desigualdade: p > Vn, implica que p² > n

Então k teria que ser menor que p pra temos n = p . k, pois se k = p, teríamos p² > n, e se k > p, então temos p . k > p . p > n

Vamos pegar então p = Vn -----> p² = n


Seja d o mdc de 6n + 7 e 3n + 2, então d dividirá qualquer combinação linear entre os dois números

d | 6n + 7
d | 3n + 2

d | 6n + 7 - 2 . (3n + 2)
d | 6n + 7 - 6n - 4
d | 3

Então d = +/- 1 ou d = +/- 3

Se d = 1

p - 4 | 1 -----> p - 4 = 1 ----> p = 5

Se d = 3

p - 4 | 3 -----> p - 4 = 3 -----> p = 7

Se d = -1

p - 4 | - 1 ----> p - 4 = - 1 -----> p = 3

Se de = - 3

p - 4 | -3 -----> p - 4 = - 3 ----> p = 1 <---- Não é solução nesse caso