Valor da expressão

Dada a expressão [latex]\lambda =\sqrt{1+(x\sqrt{1+y^{2}}+y\sqrt{1+x^{2}})^{2}}-\sqrt{1+\left ( x\sqrt{1+y^{2}}-y\sqrt{1+x^{2}} \right )^{2}}[/latex] , determine o valor de [latex]\lambda [/latex] para [latex]x=2^{2010}[/latex] e [latex]y=2^{2011}[/latex].

Olá, Freddie.
Tentei fazer umas substituições, chamando alguns termos de "a" e de "b", mas vi que era perda de tempo e decidi encarar o monstro! Vamos lá:
O "lambda", que é o valor dado pedido, vou chamar de "W" apenas para ganhar tempo, ok?

Vamos, então, elevar ambos os termos ao quadrado:  (Nessa linha acabou não ficando completa a expressão, mas no latex parece tudo certo, mas é bem tranquilo deduzir que o que faltou no final é a raiz da direita dada pelo enunciado)

[latex]w^2 = 1 + x^2y^2 + x^2 + y^2 + x^2y^2 + 1 + x^2y^2 + x^2 + y^2 + x^2y^2 - 2\sqrt{[1+(x\sqrt{1+y^2} + y\sqrt{1+x^2})^2].[1+(x\sqrt{1+y^2} - y\sqrt{1+x^2})^2]}[/latex]

Resolvendo essa conta gigante, obtemos:

[latex]w^2 = 1 + x^2y^2 + x^2 + y^2 + x^2y^2 + 1 + x^2y^2 + x^2 + y^2 + x^2y^2 - 2\sqrt{1+2x^2 + 2y^2 + 4x^2y^2 + (x^2-y^2)^2}[/latex]


OBS: Na primeira linha da equação, a expressão não ficou completa (no latex parece tudo certo). Mas é só continuar a expressão do enunciado. 
[latex]w^2 = 2 + 2x^2 + 2y^2 + 4x^2y^2 - 2\sqrt{x^4 + y^4 +2x^2y^2 + 2x^2 + 2y^2 + 1}[/latex]



[latex]w^2 = 2 + 2x^2 + 2y^2 + 4x^2y^2 - 2\sqrt{(x^2+y^2+1)^2}[/latex]



[latex]w^2 = 2 + 2x^2 + 2y^2 + 4x^2y^2 - 2x^2 - 2y^2 - 2[/latex]



[latex]w^2 = 4x^2y^2[/latex]



[latex]w = 2xy[/latex]



Substituindo temos:


[latex]w = 2.2^{2010}.2^{2011}[/latex]





[latex]w = 2^{4022}[/latex]

O correto correto da letra grega λ é lambda

Corrigido, obrigado!

obrigado