Divisão de números naturais

Vou tentar acrescentar um pouco.


A questão da existência de números com vírgulas é a mesma da existência de números naturais em si.

No começo da matemática, o grande problema era contar coisas numerosas sem ter que dar nome para cada uma das coisas.

Imagine que você vá a uma festa, e queira saber quantas pessoas estão presentes para contar para seu amigo. Suponha que você viva em uma época em que os números naturais ainda não exista. Como você faria? Vários risquinhos, onde cada risco representa uma pessoa, não é? Mas e se você foi em um evento gigantesco com sei la, 200 mil pessoas, vai fazer 200 mil risquinhos? Não! A ideia então é que você consiga expressão para seu amigo, a quantidade de pessoa, sem ter que passar a vida fazendo risquinhos.


O melhor jeito de fazer isso, é criar um sistema que se repita, desse modo eu crio símbolos para um número pequeno de pessoas, depois, a medida que esse número aumenta, fica cíclico e não preciso mais dar nomes e símbolos diferentes, e foi de fato, isso que você fez, em uma feste com 13 pessoas por exemplo, em vez de  dar um símbolo para cada, você deu símbolos para as 9 primeiras, a partir disso o ciclo se repete.

pessoa a = 1
pessoa b=2
pessoa c=3
pessoa d=4
pessoa e=5
pessoa f=6
pessoa g=7
pessoa h=8
pessoa i=9

Nesse ponto, você não tem mais criatividade para inventar um símbolo diferente para a pessoa j, então fazemos a combinação de 2 que já temos, no caso 1 e 0 = 10.

Isso resolveu um problema gigantesco da antiguidade, com isso é possível expressar qualquer valor  que seja natural sem ter que criar um simbolo totalmente novo para eles. Se você fosse a primeira pessoa a contar o número de átomos em 1 mol, teria que dar um símbolo novo para essa quantidade.


Para os números com vírgula, a ideia é exatamente a MESMA.


No seu sistema de números já existe o número 1, você criou resolvendo o problema que eu disse. Mas pensando um dia, você fez um intrigante desenho:





Esse quadrado maior, tem lado medindo 1,  você olhou para ele e disse, cada lado mede 1. O que isso implica? Se pergunte agora quanto mede o quadrado menor! Bem, sua unidade de medida só vai até 1,0 , você nunca precisou  mais do que isso para contar pessoas, animais, objetos, mas e agora?


A ideia é criar um sistema de medidas, igual você fez para pessoas, de forma que não precise dar símbolos para as infinitas possibilidades. Você já obteve exito em fazer isso para 1,2,3,... porque pensar em algo diferente se esse já deu certo? Então, vamos usar para coisas que  seja menor que 1.

Olhe para os valores 0,1,2,3,...

A ideia é alterar uma única vez, de modo que consiga exprimir valores menores do que um, porém sem criar um símbolo novo. O que você fez para valores acima do símbolo 9? Repetiu os símbolos já criados, adicionando-os a direita do que você já tinha, por exemplo, tenho o um (1) adiciono um símbolo a direita de um, tem-se (15) por exemplo.

Então, se para valores maiores que 1, eu adiciono qualquer um dos 10 símbolos já existente a direita, porque não para valores menores que um adicionar também um símbolo, porém a esquerda?


Exatamente, mas só dentre as 10 possibilidades (0,1,2,3,...9) só um faz bem esse papel, porque se adicionamos o 2 a esquerda de 1, por exemplo, temos o 21, que já existe  na resposta do primeiro problema, desse modo o único candidato é o 0.

Então fica assim. Tenho o quadrado de lado 1, quanto mede cada quadrado menor? É verdade que 10 desses quadrados resulta em um quadrado de lado 1, isto é, se A é o quadrado maior, e B o menor, é verdade que 10B=A, B+B+B+B+B+B+B+B+B+B=A

Pela solução do problema das pessoas a gente sabe que  1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=10

Analogamente, B+B+B+B+B+B+B+B+B+B=01    

A diferença desse sistema a esquerda é que, quando chegamos ao valor 9, o ciclo se repete também a esquerda.

Imagino por comodidade, estética, ou sei la o motivo, usaram a virgula para definir isso.

Então:

0,1+0,1+0,1+0,1+0,1+0,1+0,1+0,1+0,1+0,1=0,9+0,1   para entrar no ciclo o simbolo entra a esquerda = 1,0.



Não sei se essa didática ficou boa o bastante ou se só me enrolei. O que tem que pegar é que a existência dos números com vírgulas se da pela mesma razão do problema das pessoas, assim como foi para a invenção dos números complexos. Olhando para o quadrado, se existisse apenas números naturais você rapidamente veria que a matemática está incompleta, não descreve figuras com lado que seja menor do que eu chamei de 1. Então, para quebrar esse problema, e também, para não ter que dar símbolo diferente para cada lado possível de quadrado, usou se o modelo numérico já existente com a pequena diferença da vírgula.