matriz inversa - F ou V (erro de gabarito ? 2)

por JohnnyC Dom 09 Fev 2020, 16:19

Em cada item a seguir coloque verdadeiro (V) ou falso (F).

( ) Se existe A^-¹ e A.X = B, então X = B.(A^-¹)

( ) Se existem A^-¹ e B^-¹, então (A.B)^-¹ = A^-¹ . B^-¹

R: FF

Pessoal, alguém saberia me provar que as afirmativas são falsas ? No caso, pra mim, a última é verdadeira pois vai de acordo com as propriedades, não ? E a primeira também seria verdadeira, pois X = B/A --> X = B . (1/A) --> X = B.(A^-¹)

obrigado.

ps: ^-¹ significa inversa

por **Giovana Martins** Seg 10 Fev 2020, 01:24

Oii, Johnny.

" E a primeira também seria verdadeira, pois X = B/A --> X = B . (1/A) --> X = B.(A^-¹)"

Esta passagem não é verdadeira. A operação B/A não existe porque não existe a operação de divisão entre matrizes. Além disso, 1/A≠A^-1 quando estamos trabalhando com matrizes.

Para a primeira proposição eu parti do seguinte:

AX=B\to AA^{-1}X=BA^{-1}\to X=BA^{-1}

Mas nós sabemos que a multiplicação entre matrizes não é comutativa. Então teríamos:

AX=B\to AA^{-1}X=BA^{-1}\to X=BA^{-1}\neq A^{-1}B

o que invalida a proposição.

~~O que há de errado na segunda proposição?~~

\\(AB)(AB)^{-1}=I\\\\A^{-1}(AB)(AB)^{-1}=A^{-1}I\\\\B(AA^{-1})(AB)^{-1}=A^{-1}I\\\\IB(AB)^{-1}=A^{-1}I\\\\B(AB)^{-1}=A^{-1}\\\\B^{-1}B(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\\\\I(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\\\\\boxed {(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}

Vamos esperar por um colega que sabe mais sobre o assunto.

por lejandrocohen Seg 10 Fev 2020, 02:23

por lejandrocohen Seg 10 Fev 2020, 02:26

lejandrocohen escreveu:

Eu criei uma matriz 2x2,já que ele n impõem nenhuma condição,para que eu não possa fazer isso,se eu estiver errado, me corrijam,Boa noite

por **Giovana Martins** Seg 10 Fev 2020, 02:37

lejandrocohen escreveu:
lejandrocohen escreveu:
Eu criei uma matriz 2x2,já que ele n impõem nenhuma condição,para que eu não possa fazer isso,se eu estiver errado, me corrijam,Boa noite

Eu diria que ao utilizar-se da matriz 2x2 ela é boa para realizar uma contraprova como você fez agora, porém, para uma demonstração, tem-se uma sensação de perda de generalidade. Enfim, a área de demonstrações não é bem minha praia. Tive algumas poucas aulas sobre isso nas primeiras semanas de faculdade sendo assim não conheço muito a fundo. Não sou a melhor pessoa para falar sobre o tema. De qualquer forma, agradeço.

Fiz breves ajustes acima.

por JohnnyC Seg 10 Fev 2020, 15:51

pessoal, muito obrigado pelas ajudas de ambos.
olhando agora, percebo que, realmente, a última proposição está falsa, pois, como a Gi mesmo disse, o produto de matrizes não é comutativa, logo, (A.B)^-¹ = B^-¹ . A^-¹, nessa ordem.

já na 1ª proposição, eu acredito estar certa sim...a minha resolução estava errada (foi corrigida pela gi), mas a proposição ainda assim estaria verdadeira, utilizando as próprias propriedades de matrizes...sinceramente, não compreendi a razão de a 1ª proposição estar incorreta.

por JohnnyC Seg 10 Fev 2020, 15:55

a fins de "dar um basta" na questão, eu vou marcá-la como resolvida e, se por algum acaso alguém souber provar que a 1ª está falsa, a gente vai acompanhando junto.
obrigado, gi e lejandro.