equação trigonométrica

No segundo passo vc esqueceu de considerar a outra possibilidade (lembre-se que se x²=a², então x=a ou x=-a). Nesse caso, teria:
cos²(x+a)=sen²(x-a)-->cos(x+a)=sen(x-a) ou cos(x+a)=-sen(x-a)

mauk03 escreveu:No segundo passo vc esqueceu de considerar a outra possibilidade (lembre-se que se x²=a², então x=a ou x=-a). Nesse caso, teria:
cos²(x+a)=sen²(x-a)-->cos(x+a)=sen(x-a) ou cos(x+a)=-sen(x-a)

Ah sim, nossa, vacilo de mais. Obrigado.

fipswOw escreveu:Por que não se assumiu (cosa + sena) = 0 também?


Numa outra forma de resolução, chegou-se a isto:
2cos(2x)cos(2a) = 0


O autor da resposta considerou cos(2a) ≠ 0, e trabalhou cos(2x) = 0 daí em diante. Algo parecido com o que você fizera aqui. 


Penso que seja pelo fato de os termos com a não interessarem ao exercício, mas, ainda assim, não entendo considerar cos(2a) ≠ 0.


Tenho receio de estar fazendo cálculos no "automático", sem refletir sobre o que eles estão dizendo, de forma explícita ou implícita...

Alguém sabe o por que considerar [latex]2a\neq 0[/latex]?

É possível resolver esse problema utilizando a seguinte identidade:
\[
\cos^2 ( x ) + \cos^2 ( y ) = 1 + \cos ( x + y ) \cos ( x - y) .
\]
Fazendo as substituições necessárias,
\[
\begin{align*}
\cos^2 ( x - a ) + \cos^2 ( x + a ) & = 1 \\
1 + \cos ( x - a + ( x + a ) ) \cos ( x - a - ( x + a ) ) & = 1 \\
\cos ( 2x) \cos ( 2a) & = 0
\end{align*}
\]
Duas possibilidades se apresentam:
\[
\cos ( 2x ) = 0 \quad \text{ou} \quad \cos ( 2a) = 0
\]
Para \( \cos ( 2x) = 0, \quad x \in [0, \pi] \), \( S = \left\{ \frac{\pi}{4} , \frac{3\pi}{4} \right\} \).

Por outro lado, para \( \cos (2a) = 0 \), \( S = \left\{ x \ | \ 0 \leq x \leq \pi , \quad a = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}\right\}  \).