questão do ita

por jose roberto Qui 04 Ago 2011, 06:55

$f:R-\left \{ 2 \right \}\rightarrow R-\left \{ 3\right \}definida f(x)=\frac{2x+3}{x-2}+1$

sobre sua inversa podemos garantir que:
a)Não esta definida pois f é não injetora.
b)Não esta definida pois f é não sobrejetora
c)esta definida porf^-1 = y-2/y-3
d)esta definida por f^-1 = y+5/y-3 - 1
e)Esta definida por f^-1 = 2y-5/y-3
Very Happy

por **abelardo** Qui 04 Ago 2011, 13:16

Uma análise gráfica ajuda muito, mas vamos primeiramente ''manipular'' a lei da função dada.

$f: \mathbb{R}-\left \{ 2 \right \} \to\mathbb{R} - \left \{ 3 \right \}$

$f(x)=\frac{2x+3}{x-2}+1$

$f(x)=\frac{x+x+(2-2)+3}{x-2}+1$

$f(x)=\frac{x+x+(2-2)+3}{x-2}+1=\frac{(x-2)+(x+5)}{x-2}+1$

$f(x)=\frac{x-2}{x-2}+\frac{x+5}{x-2}+1$

$f(x)=\frac{x+(-2+2)+5}{x-2}+2$

$f(x)=\frac{x-2}{x-2}+\frac{7}{x-2}+2$

$f(x)=7\cdot\left (\frac{1}{x-2} \right )+3$

O mais três (+3) só indica uma translação do gráfico (não estudei geometria analítica ainda, mas acho que é assim que chama), a expressão que está dentro do parênteses indica uma função recíproca. De um modo mais ''bruto'', veja que $\left ( \frac{1}{x-2} \right )$ só não pode ser igual a zero; $7\cdot \left ( \frac{1}{x-2} \right )$ também só não pode ser igual a zero, logo $7\cdot \left ( \frac{1}{x-2} \right ) +3$ não pode ser igual a três. Pelo domínio e contradomínio dado, a função f admite inversa.

O danado é que a inversa que encontro não bate com nenhuma das opções. Acho que errei em alguma parte, mas vejo que a função f admite inversa.

por jose roberto Sex 05 Ago 2011, 13:53

abelardo escreveu:Uma análise gráfica ajuda muito, mas vamos primeiramente ''manipular'' a lei da função dada.

$f: \mathbb{R}-\left \{ 2 \right \} \to\mathbb{R} - \left \{ 3 \right \}$

$f(x)=\frac{2x+3}{x-2}+1$

$f(x)=\frac{x+x+(2-2)+3}{x-2}+1$

$f(x)=\frac{x+x+(2-2)+3}{x-2}+1=\frac{(x-2)+(x+5)}{x-2}+1$

$f(x)=\frac{x-2}{x-2}+\frac{x+5}{x-2}+1$

$f(x)=\frac{x+(-2+2)+5}{x-2}+2$

$f(x)=\frac{x-2}{x-2}+\frac{7}{x-2}+2$

$f(x)=7\cdot\left (\frac{1}{x-2} \right )+3$

O mais três (+3) só indica uma translação do gráfico (não estudei geometria analítica ainda, mas acho que é assim que chama), a expressão que está dentro do parênteses indica uma função recíproca. De um modo mais ''bruto'', veja que $\left ( \frac{1}{x-2} \right )$ só não pode ser igual a zero; $7\cdot \left ( \frac{1}{x-2} \right )$ também só não pode ser igual a zero, logo $7\cdot \left ( \frac{1}{x-2} \right ) +3$ não pode ser igual a três. Pelo domínio e contradomínio dado, a função f admite inversa.

O danado é que a inversa que encontro não bate com nenhuma das opções. Acho que errei em alguma parte, mas vejo que a função f admite inversa.

E realmente ela aceita a inversa, porém a alternativa correta e a "d"