número de maneiras distintas

Joaquina é dona de uma pequena tecelagem na cidade paulista de Franca. Com o aumento das atividades produtivas viu a necessidade de contratar mais 3 costureiras. Certo dia, Joaquina tinha 6 tarefas diferentes para serem distribuídas entre as 3 novas funcionárias. Ela podia delegar todas elas a uma só funcionaria, ou delegar apenas para algumas, ou ainda garantir que cada funcionaria receberia pelo menos uma tarefa. O número de maneiras distintas que Joaquina tinha para distribuir essas tarefas era
A 518
B 728
C 729
D 856
E 900
Poderiam me explicar? Obrigado!

(A, B, C) --> Funcionárias

Apenas para 1 funcionária: (0, 0, 6) , (0, 6, 0) , (6, 0, 0)

Para 2 funcionárias: (0, 1, 5), (0, 2, 4), (0, 3, 3), (0, 4, 2), (0, 5, 1), (1, 0, 5), (1, 5, 0), (2, 0, 4), 
(2, 4, 0), (3, 0, 3), (3, 3, 0), (4, 0, 1), (4, 1, 0), (5, 0, 1), (5, 1, 0)

Para 3 funcionárias: (1, 1, 4), (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 4, 1), (2, 1, 3), (2, 2, 2), (2, 3, 1), (3, 1, 2), 
(3, 2, 1), (4, 1, 1)

Tente completar, usando combinações para as 6 tarefas diferentes.

Por exemplo:

Para (0, 1, 5) ---> C(6, 1).C(5, 0) = _6.1 = _6
Para (0, 2, 4) ---> C(6, 2).C(4, 0) = 15.1 = 15

Elcio, nesse caso, por que não se pode usar o número de soluções inteiras de uma equação? Até porque completar as 729 possibilidades levará tempo.

Há 6 tarefas diferentes:
_ _ _ _ _ _

Cada uma será de uma das 3 funcionárias (A, B, C).

Portanto 3^6 = 729

Exemplo: A B C A A B

Acho que por PFC fica mais fácil, concordam? É o que o PedroX fez, mas acho que a palavra será que ele escreveu pode confundir um pouco.
Cada tarefa PODE ser distribuída de 3 modos diferentes:

3.3.3.3.3.3= 729.

Obrigado a todos!

O será foi usado para indicar que cada tarefa obrigatoriamente será atribuída a alguém, embora nem sempre uma pessoa terá alguma tarefa. Assim, cada tarefa tem três possibilidades de atribuição. O procedimento ao contrário seria mais complicado: Cada pessoa pode ter de 0 a 6 tarefas, mas, a soma das tarefas atribuídas sempre tem que ser 6.

Entendi!

Olá. Não achei que seria bom abrir um novo tópico pq a dúvida é bem específica, pois pensei era o mesmo com roupagem diferente.

Gostaria de saber porque esse raciocínio do PedroX não pode ser usado na pergunta:

"Uma joalheira vai sortear, entre suas 10 funcionárias, 4 aneis idênticos. Serão 4 sorteios simultâneos em que todas as funcionárias poderão particibar em iguais condições, recebendo mais de um prêmio. A quantidade de resultados disponíveis no fim do sorteio é: 715".

Não seria a mesma coisa? Pq não posso fazer por pfc como a de cima? Vi uma resolução que usava permutação. como isso poderia encaixar aqui na pergunta incial do topico?

Está errado porque são feitas contagens excessivas. Vou supor que seu raciocínio tenha sido esse "Cada anel pode ir para qualquer uma das 10 funcionárias. 10 possibilidades para o primeiro anel, 10 para o segundo, para o terceiro e para o quarto. Resposta: 10000" Mas isso é errado porque os anéis são idênticos. Por exemplo: pense nas possibilidades em que são dados anéis pras funcionárias a1 e a2. Segundo seu raciocínio, existem 10 possibilidades para o terceiro anel e 10 para o quarto, assim, 100 possibilidades em que são dados os anéis pras funcionárias a1 e a2. O problema disso é que você contou a possibilidade (a1,a2,a1,a2) e depois contou (a1,a2,a2,a1), que são exatamente a mesma possibilidade (veja no diagrama de árvore na trilha em vermelho).

Se ainda não tiver entendido, recomendo que faça exemplos menores e liste todas as possibilidades. Estude como essas contagens excessivas funcionam pra não errar mais.

Isso não funciona na sua questão porque os anéis são idênticos, e funciona na questão do tópico porque dar as tarefas 1,2,3,4,5,6 na ordem (f1,f1,f2,f2,f3,f2) é diferente de (f1,f1,f2,f2,f2,f3). Na primeira é dada a tarefa 5 pra funcionária 3 e a tarefa 6 pra funcionária 2, enquanto na segunda é dada a tarefa 5 pra funcionária 2 e a tarefa 6 pra funcionária 3.