PUCPR 2017 - Progressão Geométrica

por SanchesCM Sáb 23 Fev 2019, 19:06

Determine o valor de E sendo

PUCPR 2017 - Progressão Geométrica Esbozo10

a) 5
b) 5,5
c) 6
d) 6,5
e) 7

** Pensei em fazer que a1 seria quando n=0, depois fazer n=1 para a1+a2 e sucessivamente. Depois de descartar essa ideia fiz uma sequência de somatórios de acordo com os valores de n, obtive então: 1+3/2+5/4+9/16+11/32+....(n-1)+2/(n-1).2
Estou tentando simplificar essa soma e deixar, de alguma maneira, o 1/2 em evidência pra poder somar tudo. Se alguém puder me orientar fico grato.

por **Giovana Martins** Sáb 23 Fev 2019, 20:11

\\E=\sum_{0}^{\infty}\frac{2n+1}{2^n}=1+\frac{3}{2}+\frac{5}{2^2}+\frac{7}{2^3}+...\\\\\frac{1}{2}E=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\frac{7}{2^4}+...\\\\E-\frac{1}{2}E=1+1+\underset{\mathrm{P.G.\ infinita}}{\underbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...}}\\\\\frac{1}{2}E=2+\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}\to E=2.(2+1)\to \boxed {E=6}