UNIMONTES 2013 P.A. de ordem superior

Veja a lei de formação:

2ª linha é a diferença dos termos da 1ª linha
3ª linha é a diferença dos termos da 2ª linha e é uma pA de razão r = 3

1 - 5 - 15 - 34 - 65 - 111 - 175 - 260 - 369 - 505 - 671
--4--10--.19--31---46----64 -- 85.....109 ..136 .. 166 .. 199
.....6.....9 ..12....15....18 ...21 ....24.....27......30 ..... 33 ....36

Complete

Elcio, conheço que quando temos uma PA de segunda ordem é possível obter uma equação para encontrar um termo n sem somar um por um, mas quando temos por exemplo essa questão de uma ordem maior que 2, é possível encontrar uma equação?

Leonardo Mariano escreveu:Elcio, conheço que quando temos uma PA de segunda ordem é possível obter uma equação para encontrar um termo n sem somar um por um, mas quando temos por exemplo essa questão de uma ordem maior que 2, é possível encontrar uma equação?

É isso que quero saber, eu consigo chegar em qualquer numero da segunda PA, mas a da original não...

Passei alguns minutos montando uma resolução com LaTeX, porém achei a prova na internet, e as alternativas são bem diferentes do resultado que eu tinha encontrado:
A) 4461.
B) 4614.
C) 4416.
D) 4641.

Pra confirmar que a questão está correta, escrevi um simples programa em C:

Código:

Que retorna isto:

Retorno:

O 21° termo é uma PA de 21 termos, razão 1, primeiro termo igual a 211. A resposta é 4641, letra D.
Boa sorte pra quem achar uma resolução boa, a única que consegui no momento é essa.

Olá a todos

O termo geral a_n de uma PA de ordem k é um polinômio de grau k na variável n

http://pmo.sbm.org.br/wp-content/uploads/sites/16/2018/08/v5-3.pdf

Assim, para essa questão, teremos que o termo geral será dado por um polinômio de grau 3

Tome  p(n) = an^3 + bn^2 + cn + d

Daí,

p(1) =  a_1 = a + b + c + d = 1  
 
p(2) =  a_2 = 8a + 4b + 2c + d = 5  

p(3) =  a_3 = 27a + 9b + 3c + d = 15    

p(4) =  a_4 = 64a + 16b + 4c + d = 34  

Donde tiramos que as soluções são

a = \frac{1}{2}, \, b= 0,\, c = \frac{1}{2}, \, d = 0

Portanto,

p(n) = \frac{n^3 + n}{2}

a_{21} = 4641

Excelente resolução, Mateus!
Eu pensei dessa forma e também cheguei no resultado (de uma forma menos elegante):
Cada termo da PA principal é uma PA de razão 1:
a1 = 1
a2 = 2,3
a3 = 4,5,6
a4 = 7,8,9,10

Montando uma PA secundária formada pela diferença entre os primeiros termos:
PA = (1,2,3,4,5...)

Portanto, o primeiro termo em a21 da PA primária será o primeiro termo da PA principal somado a soma dos 20 primeiros termos da PA secundária:
a1 + S20(2) = 1 + 10*(1+20) = 211.

211 é o primeiro termo da PA de a21.
a21 será a soma dessa PA, lembrando que é de razão 1.
S = (211 + (211+20))*21/2 = 4641.

Escrevi com um pouco de pressa, logo pode não estar bem explicado, mas espero que você possa entender a ideia.

Nossa, agradeço pelas resoluções pessoal, e obrigado por ter deixado o pdf Mateus  .