Equação de Schroedinger

Alguém poderia ajudar a resolver a questão a seguir?

Considere uma partícula de massa m que pode se mover livremente ao longo do eixo x entre x = − a /2 e x = a/2 , e que é estritamente proibida de estar fora desta região. A partícula fica colidindo com as paredes intransponíveis desta caixa unidimensional, de tamanho a. A função de onda do estado fundamental da partícula é

 Ψ(x, t) = A cos(πx/a) e ^(−i Et/h(cortado))        (1)

 para − a/2 < x < a/2   e 

 Ψ(x, t) = 0                                                       (2) 

para x ≥ a 2 e para x ≤ −a 2 , onde A é uma constante e E é a energia total da partícula.

Verifique que esta função de onda é solução para a equação de Schroedinger e calcule o valor da energia.

Consideremos uma partícula confinada numa região de potencial nulo -a/2 < x < a/2. A energia potencial nessa região é 0, pois a partícula é livre. Por estar confinada, o potencial é "infinito" fora dessa região (região inacessível). Pela equação de Schrödinger (em 1D):



Fora da região, a probabilidade de encontrar a partícula é nula, logo 

.

Dentro da região, tomamos V = 0, logo



Percebe-se facilmente que  é uma solução. Note que 

 é uma condição. Então 

, n = 0,1,2,...



Por outro lado, 

.

Assim, .

A função de onda da partícula tem a parte espacial e a parte temporal.




.

Para n = 0, a solução assume a forma apresentada no enunciado. Derivando duas vezes e jogando na equação de Schrödinger, obtemos uma equação para a energia: